{(1 + x)^n}{left( {1 + frac{1}{x}} right)^n} | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक $E = (1 + x)^n \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^n$ है। इसे $E = (1 + x)^n \left( \frac{x + 1}{x} \right)^n = \frac{(1 + x)^{2n}}{x^n

Vedclass · Accepted Answer

$C_0^2 + C_1^2 + .... + C_n^2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक $E = (1 + x)^n \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^n$ है। इसे $E = (1 + x)^n \left( \frac{x + 1}{x} \right)^n = \frac{(1 + x)^{2n}}{x^n}$ के रूप में लिखा जा सकता है। $E$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद,$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है। $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ है। $x^n$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $r = n$ रखते हैं। अतः,गुणांक ${}^{2n}C_n$ है। सर्वसमिका ${}^{2n}C_n = \sum_{k=0}^{n} ({}^nC_k)^2$ का उपयोग करने पर,हमें $C_0^2 + C_1^2 + .... + C_n^2$ प्राप्त होता है।

${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

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