int_{3}^{4} sqrt{(4-x)(x-3)} d x का मान है | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$.हम समाकल्य को $\sqrt{-x^2 + 7x - 12}$ के रूप में लिख सकते हैं।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-x^2 + 7x - 12 =

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$\frac{\pi}{8}$

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(B) माना $I = \int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$.हम समाकल्य को $\sqrt{-x^2 + 7x - 12}$ के रूप में लिख सकते हैं।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-x^2 + 7x - 12 = -\left(x^2 - 7x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4}ight) - 12 = -\left(x - \frac{7}{2}ight)^2 + \frac{49}{4} - 12 = \left(\frac{1}{2}ight)^2 - \left(x - \frac{7}{2}ight)^2$.अतः,$I = \int_{3}^{4} \sqrt{\left(\frac{1}{2}ight)^2 - \left(x - \frac{7}{2}ight)^2} d x$.माना $t = x - \frac{7}{2}$,तब $dt = dx$. जब $x=3, t=-\frac{1}{2}$ और जब $x=4, t=\frac{1}{2}$.$I = \int_{-1/2}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}ight)^2 - t^2} dt$.चूंकि समाकल्य एक सम फलन है,$I = 2 \int_{0}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}ight)^2 - t^2} dt$.सूत्र $\int \sqrt{a^2 - t^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{a^2 - t^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{t}{a}ight)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{1}{2}$:$I = 2 \left[ \frac{t}{2}\sqrt{\frac{1}{4} - t^2} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2t) ight]_{0}^{1/2}$.$I = 2 \left[ (0 + \frac{1}{8}\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) ight] = 2 	imes \frac{1}{8} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$.

$\int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$ का मान है

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