int e^x left( frac{x^2+4x+4}{(x+4)^2} right) | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{x^2+4x+4}{(x+4)^2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $x^2+4x+4 = x(x+4) + 4$

Vedclass · Accepted Answer

$e^x \left( \frac{x}{x+4} \right) + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{x^2+4x+4}{(x+4)^2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $x^2+4x+4 = x(x+4) + 4$. अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int e^x \left( \frac{x(x+4) + 4}{(x+4)^2} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{x}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2} \right) dx$. माना $f(x) = \frac{x}{x+4}$. तब $f'(x) = \frac{(x+4)(1) - x(1)}{(x+4)^2} = \frac{x+4-x}{(x+4)^2} = \frac{4}{(x+4)^2}$. चूंकि समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है,इसलिए हमें $I = e^x \left( \frac{x}{x+4} \right) + c$ प्राप्त होता है।

$\int e^x \left( \frac{x^2+4x+4}{(x+4)^2} \right) dx$ का मान क्या है?

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