$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int_0^x {\cos {t^2}dt} }}{x}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : (-1, 1) \to R$ એક સતત વિધેય છે. જો $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ હોય,તો $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,તો:

ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x)=\int_{\frac{1}{x}}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$ દ્વારા આપેલ છે. તો
$(A)$ $f(x)$ એ $[1, \infty)$ પર એકવિધ વધતું વિધેય છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(0,1)$ પર એકવિધ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=0$,બધા $x \in(0, \infty)$ માટે
$(D)$ $f\left(2^x\right)$ એ $\mathbb{R}$ પર $x$ નું અયુગ્મ વિધેય છે

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

$\mathop {Lim}\limits_{k \to 0} \frac{1}{k} \int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx$