int_{0}^{1} frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}} dx | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}} dx$. $(1-x)^{4} = 1 - 4x + 6x^{2} - 4x^{3} + x^{4}$ का विस्तार करने पर। अतः,$I = \int_{0}^{1

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$\frac{22}{7} - \pi$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}} dx$. $(1-x)^{4} = 1 - 4x + 6x^{2} - 4x^{3} + x^{4}$ का विस्तार करने पर। अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{x^{4}(1 - 4x + 6x^{2} - 4x^{3} + x^{4})}{1+x^{2}} dx$. $x^{4}(x^{4} - 4x^{3} + 6x^{2} - 4x + 1)$ को $(x^{2} + 1)$ से विभाजित करने पर: $x^{8} - 4x^{7} + 6x^{6} - 4x^{5} + x^{4} = (x^{2} + 1)(x^{6} - 4x^{5} + 5x^{4} - 4x^{2} + 4) - 4$. इस प्रकार,$\frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}} = x^{6} - 4x^{5} + 5x^{4} - 4x^{2} + 4 - \frac{4}{1+x^{2}}$. $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर: $I = \int_{0}^{1} (x^{6} - 4x^{5} + 5x^{4} - 4x^{2} + 4) dx - 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$. $I = [\frac{x^{7}}{7} - \frac{4x^{6}}{6} + \frac{5x^{5}}{5} - \frac{4x^{3}}{3} + 4x]_{0}^{1} - 4[	an^{-1}(x)]_{0}^{1}$. $I = (\frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4) - 4(\frac{\pi}{4})$. $I = (\frac{3 - 14 + 21 - 28 + 84}{21}) - \pi = \frac{66}{21} - \pi = \frac{22}{7} - \pi$.

$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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