निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\sqrt {\ln \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} } {\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)} \cdot 2x {e^{{x^2}}}dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}$ द्वारा परिभाषित है और $g(x)=f(f(f(f(x))))$ है,तो $18 \int_0^{\sqrt{2\sqrt{5}}} x^3 g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y=f(x)$ अंतराल $(-5,5)$ में तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए वक्र $y=f(x)$ के बिंदुओं $(1, f(1))$ और $(3, f(3))$ पर स्पर्श रेखाएं धनात्मक $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती हैं। यदि $27 \int_1^3\left(\left(f^{\prime}(t)\right)^2+1\right) f^{\prime \prime}(t) d t=\alpha+\beta \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\pi /4} \tan^6 x \sec^2 x \, dx = $

$\int_0^1 \frac{1}{2+\sqrt{x}} \, dx =$

$\int_{8}^{18} \frac{1}{(x+2) \sqrt{x-3}} \, dx = $