નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 4 & -6 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -4 & 11 & -1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

$3$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માં,$a_{ii}$ એ સમીકરણ $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે; $a_{i, i+1}$ એ બીજનો ગુણાકાર છે,$a_{i, i-1}$ બધા એકમ $(1)$ છે અને બાકીના ઘટકો શૂન્ય છે. તો $\det(A)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $P, Q$ અને $R$ એ $\Delta PQR$ ના ખૂણાઓ હોય, તો $\left|\begin{array}{ccc}-1 & \cos R & \cos Q \\ \cos R & -1 & \cos P \\ \cos Q & \cos P & -1\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $x^2+y^2+z^2 \neq 0, \quad x=cy+bz, \quad y=az+cx$ અને $z=bx+ay$ હોય, તો $a^2+b^2+c^2+2abc$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ છે,જ્યાં $a, b, c \in R$ અને $a, b \neq 0$. જો $u, v, w$ માં આપેલ સમીકરણોની સંહતિ $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,અને $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\frac{a^{2}}{b}$ ની કિંમત શોધો.

જો $P, Q$ અને $R$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $\begin{bmatrix} 3x^2+x+3 & 2x^2-x+4 & 7x^2+8x+5 \\ 5x^2+3x+2 & 4x^2-2x-1 & 7x^2+5x+8 \\ 3x^2+2x+5 & 4x^2-x-2 & 3x^2+8x+7 \end{bmatrix} = Px^2+Qx+R$ થાય,તો $\det R = $