સંકલન int_{-1}^{1} log left(x+sqrt{x^{2}+1}ri | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ છે.$f(-x)$ ની ગણતરી કરીને ચકાસો કે $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય છે

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ છે.$f(-x)$ ની ગણતરી કરીને ચકાસો કે $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય છે કે નહીં:$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^{2}+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$.અંશ અને છેદને $(\sqrt{x^{2}+1}+x)$ વડે ગુણતા:$f(-x) = \log \left(\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right) = \log \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\right)$.ગુણધર્મ $\log(1/a) = -\log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(-x) = -\log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) = -f(x)$.આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય અયુગ્મ વિધેય છે.નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ થાય.તેથી,$\int_{-1}^{1} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \, dx = 0$.

સંકલન $\int_{-1}^{1} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

સંકલન $\frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \left(\frac{3 \pi x^{2}}{2} - x^{3}\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ અને $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

ધારો કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ છે. તો,શ્રેણી $(a_n)_{n \geq 1}$ શું સંતોષે છે?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-100}^{100} \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module