समाकल int_{-2}^{2}(1+2 sin x) e^{|x|} d x का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$. हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin

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$2(e^{2}-1)$

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(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$. हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x$. पहले भाग पर विचार करें: $f(x) = e^{|x|}$. चूँकि $f(-x) = e^{|-x|} = e^{|x|} = f(x)$, इसलिए $f(x)$ एक सम फलन है। अतः, $\int_{-2}^{2} e^{|x|} d x = 2 \int_{0}^{2} e^{x} d x = 2[e^{x}]_{0}^{2} = 2(e^{2}-1)$. दूसरे भाग पर विचार करें: $g(x) = \sin x e^{|x|}$. चूँकि $g(-x) = \sin(-x) e^{|-x|} = -\sin x e^{|x|} = -g(x)$, इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है। अतः, $\int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x = 0$. इसलिए, $I = 2(e^{2}-1) + 2(0) = 2(e^{2}-1)$.

समाकल $\int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$ का मान किसके बराबर है?

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$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx =$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ और $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ है, तो $f(x) =$

यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

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