सदिश 3 vec{a}-5 vec{b} और 2 vec{a}+vec{b} परस | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+\vec{b}) = 0$. इसका विस्तार करने पर,$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdo

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$\cos ^{-1}\left(\frac{19}{5 \sqrt{43}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+\vec{b}) = 0$. इसका विस्तार करने पर,$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$,जो सरल होकर $6|\vec{a}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$ हो जाता है। अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} \dots (i)$. साथ ही,$(\vec{a}+4 \vec{b}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$. इसका विस्तार करने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,जो सरल होकर $-|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$ हो जाता है। अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} \dots (ii)$. समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3}$. $18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 = 28|\vec{b}|^2 - 7|\vec{a}|^2$,इसलिए $25|\vec{a}|^2 = 43|\vec{b}|^2$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}| = \sqrt{\frac{43}{25}} |\vec{b}| = \frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|$. $|\vec{a}|^2 = \frac{43}{25} |\vec{b}|^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{57}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{19}{25} |\vec{b}|^2$. चूंकि $\cos 	heta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$,हमें प्राप्त होता है $\cos 	heta = \frac{\frac{19}{25} |\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|) |\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$. अतः,$	heta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{5\sqrt{43}}ight)$.

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