ચેસબોર્ડ પર એક પછી એક બે ચોરસ પસંદ કરવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચે એક બાજુ સામાન્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

બે ખેલાડીઓ,$P_1$ અને $P_2$,એકબીજા સામે રમત રમે છે. દરેક રાઉન્ડમાં,દરેક ખેલાડી એક વાર પાસો ફેંકે છે. ધારો કે $x$ અને $y$ એ $P_1$ અને $P_2$ માટેના પરિણામો છે. જો $x > y$,તો $P_1$ ને $5$ પોઈન્ટ અને $P_2$ ને $0$ પોઈન્ટ મળે છે. જો $x = y$,તો દરેકને $2$ પોઈન્ટ મળે છે. જો $x < y$,તો $P_1$ ને $0$ અને $P_2$ ને $5$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X_n$ અને $Y_n$ એ $n$ રાઉન્ડ પછી $P_1$ અને $P_2$ ના કુલ સ્કોર છે. નીચેનાને જોડો:

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(I)$ $(X_2 \geq Y_2)$ ની સંભાવના છે	$(P)$ $\frac{3}{8}$
$(II)$ $(X_2 > Y_2)$ ની સંભાવના છે	$(Q)$ $\frac{11}{16}$
$(III)$ $(X_3 = Y_3)$ ની સંભાવના છે	$(R)$ $\frac{5}{16}$
$(IV)$ $(X_3 > Y_3)$ ની સંભાવના છે	$(S)$ $\frac{355}{864}$
	$(T)$ $\frac{77}{432}$

બે વ્યક્તિઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી પાસાની જોડી ફેંકે છે. જે વ્યક્તિ પહેલા બંને પાસા પર $9$ નો સરવાળો લાવે તે રમત જીતે છે. જો $A$ પહેલા ફેંકે,તો $B$ રમત જીતે તેની સંભાવના કેટલી?

$A, B, C$ એકસાથે પણ સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્યને વીંધવાનો પ્રયાસ કરે છે. લક્ષ્યને વીંધવાની તેમની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{5}{8}$ છે. લક્ષ્ય $A$ અથવા $B$ દ્વારા વીંધાય પણ $C$ દ્વારા નહીં,તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક માણસ વારંવાર એક નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળે છે. તેને દરેક છાપ (head) માટે $10$ પોઈન્ટ અને દરેક કાંટા (tail) માટે $5$ પોઈન્ટ મળે છે. જો તેને બરાબર $30$ પોઈન્ટ મળે તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\text{gcd}(m, n) = 1$, તો $m + n$ ની કિંમત શોધો:

જો પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ ને $1$ અને $100$ ની વચ્ચે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો $7^m + 7^n$ સ્વરૂપની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?