દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $n \in N$ માટે $6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા હંમેશા શેષ $1$ વધે છે.

બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,જો આપણે એવી સંખ્યાઓ $q$ અને $r$ શોધી શકીએ કે જેથી $a = bq + r$ થાય,તો આપણે કહી શકીએ કે $b$ એ $a$ ને ભાગે છે જ્યાં $q$ એ ભાગફળ અને $r$ એ શેષ છે. આમ,$6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરીશું કે $6^{n} - 5n = 25k + 1$,જ્યાં $k$ એ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આપણી પાસે દ્વિપદી વિસ્તરણ છે:
$(1 + a)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}a + {}^{n}C_{2}a^{2} + \dots + {}^{n}C_{n}a^{n}$
$a = 5$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(1 + 5)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(5) + {}^{n}C_{2}(5^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(5^{n})$
$6^{n} = 1 + 5n + 25({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(5) + \dots + 5^{n-2})$
$6^{n} - 5n = 1 + 25({}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2})$
ધારો કે $k = {}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2}$.
તેથી $6^{n} - 5n = 25k + 1$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે $6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.