द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $n \in N$ के लिए $6^{n} - 5n$ को $25$ से विभाजित करने पर हमेशा शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,यदि हम ऐसी संख्याएँ $q$ और $r$ ज्ञात कर सकें कि $a = bq + r$ हो,तो हम कहते हैं कि $b$,$a$ को विभाजित करता है जहाँ $q$ भागफल है और $r$ शेषफल है। अतः,यह दर्शाने के लिए कि $6^{n} - 5n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है,हम सिद्ध करेंगे कि $6^{n} - 5n = 25k + 1$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हमारे पास द्विपद प्रसार है:
$(1 + a)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}a + {}^{n}C_{2}a^{2} + \dots + {}^{n}C_{n}a^{n}$
$a = 5$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 + 5)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(5) + {}^{n}C_{2}(5^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(5^{n})$
$6^{n} = 1 + 5n + 25({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(5) + \dots + 5^{n-2})$
$6^{n} - 5n = 1 + 25({}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2})$
माना $k = {}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2}$ है।
अतः $6^{n} - 5n = 25k + 1$ है।
यह दर्शाता है कि जब $6^{n} - 5n$ को $25$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।