ક્ષિતિજ સમાંતર $X-Y$ સમતલમાં વક્રમાર્ગે ગતિ કરતા કણનો વેગ સમય સાથે $\vec{v} = (2t\hat{i} + t^2\hat{j}) \ m/s$ મુજબ બદલાય છે. અહીં,$t$ સેકન્ડમાં છે. $t = 1 \ s$ સમયે:

જો $T$ એ કુલ ઉડ્ડયન સમય હોય,$h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ હોય અને $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (range) હોય,તો પ્રક્ષિપ્ત ગતિના $x$ અને $y$ યામો સમય $t$ અને અવધિ $R$ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?

$m$ દળનો એક કણ $u$ વેગથી, સમક્ષિતિજ ($x$-અક્ષ) સાથે $\theta$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. જો અન્ય તમામ પરિમાણો સમાન રાખીને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ બદલવામાં આવે, તો પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે મહત્તમ ઊંચાઈએ કોણીય વેગમાન $(L)$ નું મૂલ્ય $\theta$ સાથે કેવી રીતે બદલાય છે?

$m$ દળનો એક કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી તેનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ સમય $t$ સાથે $a = k^{2} r t^{2}$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે. કણ પર લાગતા બળ દ્વારા પાવર કેટલો હશે?

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(a)$ સદિશો $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ માટે,સદિશ $(\vec{A} - \vec{B})$ નો $y$-ઘટક ..... છે.
$(b)$ $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી શિરોલંબ દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થના કુલ ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર .......... છે.
$(c)$ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ કોણીય વેગ $\omega$ થી ગતિ કરતા કણના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર ...... છે.
$(d)$ કોઈપણ સદિશનો ઘટક હંમેશાં ......... હોય છે.

સમતલમાં દ્વિ-પરિમાણીય ગતિનો અભ્યાસ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સ્થાન,વેગ અને પ્રવેગને સદિશ $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ તરીકે દર્શાવીને કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ દિશામાં એકમ સદિશ છે અને $A_{x}$ અને $A_{y}$ એ $\vec{A}$ ના અનુરૂપ ઘટકો છે. ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં સદિશોને $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ તરીકે દર્શાવીને પણ કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ અને $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ એ $r$ અને $\theta$ વધતી દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(a)$ $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ને $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$(b)$ સાબિત કરો કે $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ બંને એકમ સદિશ છે અને એકબીજાને લંબ છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,જ્યાં $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ અને $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$.
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ દ્વારા આપવામાં આવતી સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે,જ્યાં $a = 1$ (એકમ),$a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધો.
$(e)$ $(d)$ માં વર્ણવેલ સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે ધ્રુવીય સદિશ સ્વરૂપમાં વેગ અને પ્રવેગ શોધો.