निम्नलिखित में से कौन सा फलन f(x) = lim_{n to | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{2}{\pi} 	an^{-1}(nx)$ का ग्राफ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के विभिन्न मानों के लिए सीमा (limit) का विश्लेषण कर

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(A) फलन $f(x) = \lim_{n o \infty} \frac{2}{\pi} an^{-1}(nx)$ का ग्राफ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के विभिन्न मानों के लिए सीमा (limit) का विश्लेषण करते हैं: $1$. यदि $x > 0$ है,तो जैसे $n o \infty$,$nx o \infty$ होता है। इसलिए,$ an^{-1}(nx) o \frac{\pi}{2}$। अतः,$f(x) = \frac{2}{\pi} imes \frac{\pi}{2} = 1$। $2$. यदि $x = 0$ है,तो सभी $n$ के लिए $nx = 0$ होता है। इसलिए,$ an^{-1}(0) = 0$। अतः,$f(x) = \frac{2}{\pi} imes 0 = 0$। $3$. यदि $x < 0$ है,तो जैसे $n o \infty$,$nx o -\infty$ होता है। इसलिए,$ an^{-1}(nx) o -\frac{\pi}{2}$। अतः,$f(x) = \frac{2}{\pi} imes (-\frac{\pi}{2}) = -1$। इन सबको मिलाने पर,फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -1, & x < 0 \end{cases}$ यह सिग्नम फलन (signum function) के अनुरूप है,जिसे उस ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $x>0$ के लिए $y=1$,$x=0$ पर $y=0$,और $x < 0$ के लिए $y=-1$ होता है। यह विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi} \tan^{-1}(nx)$ के ग्राफ का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है?

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