Equations of circle Questions in Gujarati

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $y - 4x + 3 = 0$ પર હોવાથી, $k - 4h + 3 = 0$, અથવા $k = 4h - 3$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ નું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) છે:
$(h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$ મળે.
$k = 4h - 3$ ને $h + k = 7$ માં મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$ મળે.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$ થાય. કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0 + 4 = 4$ થાય.
સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 4 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 \implies x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $4x - y - 3 = 0$ પર હોવાથી, $4h - k - 3 = 0$, અથવા $k = 4h - 3$ મળે.
વર્તુળ $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હશે:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$.
$h + k = 7$ માં $k = 4h - 3$ મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$ મળે.
કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0 + 4 = 4$ છે.
સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ છે.

(A) પગલું $1$: બે સમાંતર રેખાઓ $3x - 4y + 8 = 0$ અને $3x - 4y - 28 = 0$ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે. અંતર $d = \frac{|8 - (-28)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{36}{5} = 7.2$ છે. તેથી ત્રિજ્યા $r = 3.6$ છે.
પગલું $2$: કેન્દ્ર $(h, k)$, $x + 2y = 0$ પર છે, તેથી $h = -2k$। કેન્દ્ર બંને રેખાઓથી સમાન અંતરે છે. મધ્ય રેખા $3x - 4y - 10 = 0$ છે.
પગલું $3$: $h = -2k$ ને $3h - 4k - 10 = 0$ માં મૂકતા, $3(-2k) - 4k - 10 = 0 \implies k = -1$ અને $h = 2$ મળે છે. કેન્દ્ર $(2, -1)$ છે.
પગલું $4$: વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2$ છે. $r^2 = 12.96$.

(C) સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે, $xy$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ અને $x^2$ તથા $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
પગલું $1$: $xy$ ના સહગુણકને $0$ લો: $3 - p = 0 \implies p = 3$.
પગલું $2$: $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોને સમાન લો: $3 = q$.
પગલું $3$: સમીકરણમાં $p=3$ અને $q=3$ મૂકતા: $3x^2 + 3y^2 - 2(3)x = 8(3)(3) \implies 3x^2 + 3y^2 - 6x = 72$.
પગલું $4$: $3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 2x = 24$.
પગલું $5$: પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 24 + 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 25$.
પગલું $6$: ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25} = 5$ છે. ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(5)^2 = 25\pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) સમીકરણ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે, $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ. તેથી, $a + 1 = 3$, જે આપણને $a = 2$ આપે છે.
સમીકરણમાં $a = 2$ મૂકતા: $3x^2 + 3y^2 - 6x + 9y + 6 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0$.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $2g = -2 \implies g = -1$ અને $2f = 3 \implies f = 3/2$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -3/2)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (3/2)^2 - 2} = \sqrt{1 + 9/4 - 2} = \sqrt{9/4 - 1} = \sqrt{5/4} = \sqrt{5}/2$ છે.

(D) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x = \sqrt{3} \cos \theta$ અને $y = \sqrt{3} \sin \theta$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $x^2 + y^2 = (\sqrt{3} \cos \theta)^2 + (\sqrt{3} \sin \theta)^2$.
$x^2 + y^2 = 3 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta = 3(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 3$.
આ $r = \sqrt{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
$A = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \text{ ચોરસ એકમ}$.