Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $(0,0)$ से गुजरता है, इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
वृत्त रेखाओं $x + y - 1 = 0$ और $x - y - 1 = 0$ को स्पर्श करता है। अतः, $(h, k)$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरी $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|h + k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|h - k - 1|}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है $|h + k - 1| = |h - k - 1|$।
स्थिति $1$: $h + k - 1 = h - k - 1 \implies k = 0$।
$r^2 = h^2 + k^2$ में $k=0$ रखने पर, $r^2 = h^2$। साथ ही $r = \frac{|h - 1|}{\sqrt{2}}$, अतः $h^2 = \frac{(h-1)^2}{2} \implies h^2 + 2h - 1 = 0$। इससे $h$ के दो मान प्राप्त होते हैं, अतः दो वृत्त।
स्थिति $2$: $h + k - 1 = -(h - k - 1) \implies h = 1$।
$r^2 = h^2 + k^2$ में $h=1$ रखने पर, $r^2 = 1 + k^2$। साथ ही $r = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$, अतः $r^2 = \frac{k^2}{2}$।
इन्हें बराबर करने पर, $1 + k^2 = \frac{k^2}{2} \implies \frac{k^2}{2} = -1$, जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः, ऐसे $2$ वृत्त हैं।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है। वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
चूंकि यह $(0, 1)$ से गुजरता है, $h^2 + (1 - k)^2 = r^2$ है। $(1)$
चूंकि यह $(1, 1)$ से गुजरता है, $(1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2$ है। $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $h^2 = (1 - h)^2 \implies h^2 = 1 - 2h + h^2 \implies 2h = 1 \implies h = \frac{1}{2}$।
$(1, 1)$ पर $y = x^2$ की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x|_{x=1} = 2$ है। $(1, 1)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
केंद्र $(h, k)$ अभिलंब रेखा पर स्थित है जो $(1, 1)$ से गुजरती है और जिसकी ढाल $-\frac{1}{2}$ है: $\frac{k - 1}{h - 1} = -\frac{1}{2}$।
$h = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{k - 1}{1/2 - 1} = -\frac{1}{2} \implies \frac{k - 1}{-1/2} = -\frac{1}{2} \implies k - 1 = \frac{1}{4} \implies k = \frac{5}{4}$।
अतः, केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$ है।

(B) दूरी $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में, $OA = r$ और $AP = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{100 - r^2}$ है।
$\triangle OAP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} r \sqrt{100 - r^2}$ है।
चतुर्भुज $PAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{क्षेत्रफल}(\triangle OAP) = r \sqrt{100 - r^2}$ है।
माना $f(r) = r \sqrt{100 - r^2}$ है। $f(r)$ को अधिकतम करने के लिए, $f(r)^2 = r^2(100 - r^2) = 100r^2 - r^4$ को अधिकतम करें।
माना $g(r) = 100r^2 - r^4$ है। $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(r) = 200r - 4r^3$ प्राप्त होता है।
$g'(r) = 0$ रखने पर, $4r(50 - r^2) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $r^2 = 50$, जिसका अर्थ है $r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
अतः, क्षेत्रफल अधिकतम होता है जब $r = 5\sqrt{2}$ हो।

(B) $1$. वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ है। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर, $g = -1, f = -1, c = -2$ प्राप्त होता है।
$2$. केंद्र $C$ $(-g, -f) = (1, 1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ है।
$3$. $C(1, 1)$ से रेखा $x + y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1 + 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
$4$. $\triangle ABC$ में, $AC = BC = r = 2$ है। $C$ से जीवा $AB$ पर त्रिभुज की ऊँचाई $d = \sqrt{2}$ है।
$5$. जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ है।
$6$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$।

(D) वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 6x = 0$ के लिए, केंद्र $C_1 = (3, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - 0} = 3$ है।
वृत्त $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 2y + 1 = 0$ के लिए, केंद्र $C_2 = (-3, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ और $\sqrt{37} > 6$, केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक है $(d > r_1 + r_2)$।
अतः, वृत्त अलग-अलग हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करते हैं।
इस स्थिति में, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।