Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(B) बंद ऑर्गन पाइप के $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_{n, closed} = \frac{nv}{4L_{closed}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक $(1, 3, 5, ...)$ है।
पाँचवें हार्मोनिक के लिए, $n = 5$, इसलिए $f_{5, closed} = \frac{5v}{4L_{closed}}$.
खुले ऑर्गन पाइप के पहले हार्मोनिक (मूल आवृत्ति) की आवृत्ति $f_{1, open} = \frac{v}{2L_{open}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि बंद पाइप का पाँचवाँ हार्मोनिक खुले पाइप के पहले हार्मोनिक के साथ एकसमान है, इसलिए $f_{5, closed} = f_{1, open}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5v}{4L_{closed}} = \frac{v}{2L_{open}}$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $\frac{5}{4L_{closed}} = \frac{1}{2L_{open}}$.
लंबाई के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{L_{closed}}{L_{open}} = \frac{5 \times 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
इस अनुपात की तुलना दिए गए अनुपात $\frac{5}{x}$ से करने पर, हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए, $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \left( \frac{v}{2L} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $L$ पाइप की लंबाई है।
दिया गया है कि $v_3 = 3 \left( \frac{v}{2L} \right)$ और $v_6 = 6 \left( \frac{v}{2L} \right)$.
प्रश्न के अनुसार, $v_6 - v_3 = 2200 \text{ Hz}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $6 \left( \frac{v}{2L} \right) - 3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2200$.
$3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2200$.
$v = 330 \text{ m/s}$ लेने पर, $3 \left( \frac{330}{2L} \right) = 2200$.
$990 / (2L) = 2200$.
$2L = 990 / 2200 = 0.45 \text{ m}$.
$L = 0.225 \text{ m} = 225 \text{ mm}$.

(NONE) दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए, $k^{th}$ हार्मोनिक में $k+1$ नोड्स होते हैं।
$5^{th}$ हार्मोनिक $(k=5)$ के लिए, नोड्स की संख्या $n = 5 + 1 = 6$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, $p^{th}$ हार्मोनिक (जहाँ $p$ एक विषम संख्या होनी चाहिए) में $\frac{p+1}{2}$ नोड्स होते हैं।
$9^{th}$ हार्मोनिक $(p=9)$ के लिए, नोड्स की संख्या $m = \frac{9+1}{2} = 5$ है।
अतः, अनुपात $\frac{n}{m} = \frac{6}{5}$ है।

(C) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है।
खुली पाइप के लिए, $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot \frac{v}{2L}$ है। पहला ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है, इसलिए $f_{open} = 2 \cdot \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$।
बंद पाइप के लिए, $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = (2n-1) \cdot \frac{v}{4L}$ है। पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है, इसलिए $f_{closed} = 3 \cdot \frac{v}{4L}$।
बीट आवृत्ति $|f_{open} - f_{closed}| = 3$ है।
$|\frac{v}{L} - \frac{3v}{4L}| = 3$ implies $\frac{v}{4L} = 3$ implies $\frac{v}{L} = 12$।
अब, खुली पाइप की नई लंबाई $L' = \frac{L}{3}$ और बंद पाइप की नई लंबाई $L'' = 3L$ है।
मूल आवृत्तियों का उपयोग करते हुए, यदि हम मूल आवृत्तियों को लें: $f_{open} = \frac{v}{2L}$ और $f_{closed} = \frac{v}{4L}$।
$|f_{open} - f_{closed}| = \frac{v}{4L} = 3$।
नई आवृत्तियाँ: $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = 3 \cdot \frac{v}{2L} = 3 \cdot 6 = 18$।
$f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{v}{4L} = \frac{3}{3} = 1$।
बीट्स की संख्या $|18 - 1| = 17$ होगी।

(D) $L$ लंबाई की बंद पाइप में, मूलभूत विधा (प्रथम सन्नादी) में बंद सिरे पर निस्पंद (node) और खुले सिरे पर प्रस्पंद (antinode) होता है।
मूलभूत विधा के लिए, पाइप की लंबाई $L = \frac{\lambda}{4}$ होती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
ध्वनि तरंग को खुले सिरे से बंद सिरे तक ($L$ दूरी) पहुँचने में लगा समय $t = \frac{L}{v}$ है, जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है।
चूँकि $v = f\lambda$, इसलिए $t = \frac{L}{f\lambda}$।
$L = \frac{\lambda}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $t = \frac{\lambda/4}{f\lambda} = \frac{1}{4f}$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर, $f = \frac{1}{4t}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ है।
खुली पाइप का पहला ओवरटोन $f_{o1} = 2f_o$ है।
समान लंबाई $L$ वाली बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L} = \frac{f_o}{2}$ है।
बंद पाइप का दूसरा ओवरटोन $f_{c2} = 5f_c = 5 \left( \frac{f_o}{2} \right) = 2.5f_o$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_{c2} - f_{o1} = 100 \text{ Hz}$ है।
मान रखने पर: $2.5f_o - 2f_o = 100 \text{ Hz}$।
$0.5f_o = 100 \text{ Hz}$।
$f_o = 200 \text{ Hz}$।

(B) मान लीजिए पाइप की कुल लंबाई $L$ है। दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप को पानी में इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $\frac{2}{3}$ भाग पानी में हो, तो पानी के ऊपर बचे वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L$ होती है।
यह वायु स्तंभ अब एक सिरे पर बंद (पानी की सतह) और दूसरे सिरे पर खुली पाइप के रूप में कार्य करता है।
एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $L' = \frac{1}{3}L$ रखने पर, हमें $f' = \frac{v}{4(\frac{1}{3}L)} = \frac{3v}{4L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = \frac{v}{2L}$, हम $v = 2Lf$ लिख सकते हैं।
इस मान को $f'$ के समीकरण में रखने पर, हमें $f' = \frac{3(2Lf)}{4L} = \frac{6f}{4} = \frac{3}{2}f$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ है।
खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $f_{o,2} = 3f_o = 3 \times \frac{v}{2L}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ है।
बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन $7^{th}$ हार्मोनिक है, जो $f_{c,3} = 7f_c = 7 \times \frac{v}{4L}$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_{c,3} - f_{o,2} = 150 \text{ Hz}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$।
$\frac{7v - 6v}{4L} = 150 \implies \frac{v}{4L} = 150 \text{ Hz}$।
चूंकि $f_o = \frac{v}{2L} = 2 \times \frac{v}{4L}$, इसलिए $f_o = 2 \times 150 = 300 \text{ Hz}$।

(B) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$, तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के चौथाई का विषम गुणज होती है।
अनुनाद के लिए शर्त $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
सबसे पहले, $v = f \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंग दैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें, जहाँ $v = 332$ m/s और $f = 415$ Hz है।
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{332}{415} = 0.8$ m = $80$ cm.
अब, $\lambda = 80$ cm को अनुनाद की शर्त में रखें:
$L = (2n - 1) \frac{80}{4} = (2n - 1) \times 20$ cm.
$n = 1$ के लिए, $L = 20$ cm.
$n = 2$ के लिए, $L = 60$ cm.
$n = 3$ के लिए, $L = 100$ cm.
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, $40$ cm, $20$ cm का विषम गुणज नहीं है, इसलिए यह अनुनाद में नहीं है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n + 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं, जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ ओवरटोन संख्या को दर्शाता है।
चौथे ओवरटोन के लिए, $n = 4$ है।
आवृत्ति $f_4 = (2(4) + 1)f_0 = 9f_0$ है।
$n$-वें ओवरटोन में कंपन करने वाली बंद पाइप में निस्पंदों की संख्या का सामान्य सूत्र $x = n + 1$ है।
$n = 4$ रखने पर, हमें $x = 4 + 1 = 5$ प्राप्त होता है।
$n$-वें ओवरटोन में कंपन करने वाली बंद पाइप में प्रस्पंदों की संख्या का सामान्य सूत्र $y = n + 1$ है।
$n = 4$ रखने पर, हमें $y = 4 + 1 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः, $x$ और $y$ के मान क्रमशः $5$ और $5$ हैं।

(D) $L_0$ लंबाई के खुले पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_0}$ द्वारा दी जाती है।
पाँचवें ओवरटोन $(n=5)$ के लिए, आवृत्ति $f_{5, \text{open}} = (5+1) \frac{v}{2L_0} = \frac{6v}{2L_0} = \frac{3v}{L_0}$ है।
$L_c$ लंबाई के एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है।
पाँचवें ओवरटोन $(n=5)$ के लिए, आवृत्ति $f_{5, \text{closed}} = (2 \times 5 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{11v}{4L_c}$ है।
चूंकि आवृत्तियाँ एकसमान हैं, इसलिए $f_{5, \text{open}} = f_{5, \text{closed}}$.
अतः, $\frac{3v}{L_0} = \frac{11v}{4L_c}$.
अनुपात $\frac{L_0}{L_c}$ के लिए हल करने पर, हमें $\frac{L_0}{L_c} = \frac{3 \times 4}{11} = \frac{12}{11}$ प्राप्त होता है।

(C) एक सिरे पर बंद $L$ लंबाई के ऑर्गन पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $\nu = \frac{v}{4L}$ होती है, जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है।
जब पाइप को दो समान भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग की लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ हो जाती है।
एक भाग एक सिरे पर बंद रहता है, इसलिए इसकी मूल आवृत्ति $\nu_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{2v}{4L} = 2\nu$ होगी।
दूसरा भाग अब दोनों सिरों पर खुला है, इसलिए इसकी मूल आवृत्ति $\nu_2 = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 4 \times (\frac{v}{4L}) = 4\nu$ होगी।
अतः, आवृत्तियाँ $2\nu$ और $4\nu$ हैं।

(B) $L_c$ लंबाई की बंद पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = (2n + 1) \frac{v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। तीसरे ओवरटोन $(n = 3)$ के लिए, $f_c = (2 \times 3 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$ होगा।
$L_0$ लंबाई की खुली पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_0 = (n + 1) \frac{v}{2L_0}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन $(n = 3)$ के लिए, $f_0 = (3 + 1) \frac{v}{2L_0} = \frac{4v}{2L_0} = \frac{2v}{L_0}$ होगा।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं, इसलिए $\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_0}$ होगा।
अनुपात $L_c : L_0$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{L_c}{L_0} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $L_c : L_0$ का मान $7:8$ है।

(D) एक सिरे पर खुली अनुनाद नली के लिए, अनुनाद की स्थिति $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ वायु स्तंभ की लंबाई है, $e$ अंत सुधार है, और $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$।
दिया गया है $L_1 = 18$ cm और $e = 1.1$ cm, अतः $18 + 1.1 = \frac{\lambda}{4} \implies 19.1 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 76.4$ cm।
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$।
मान रखने पर: $L_2 + 1.1 = 3 \times 19.1$।
$L_2 + 1.1 = 57.3$।
$L_2 = 57.3 - 1.1 = 56.2$ cm।

(A) एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $\frac{\lambda}{4}$ का विषम गुणज होती है।
मान लीजिए कि दो सबसे छोटी लंबाई $l_1$ और $l_2$ हैं।
$l_1 = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 = \frac{3\lambda}{4}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$l_2 - l_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
इसलिए, $\lambda = 2(l_2 - l_1)$।
हवा में ध्वनि की गति $v = n\lambda$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$v = n \times 2(l_2 - l_1) = 2n(l_2 - l_1)$।

(B) दोनों सिरों पर स्थिर तार के लिए $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
यह दिया गया है कि तार $P$ वें हार्मोनिक में $320 \text{ Hz}$ पर अनुनादित होता है, इसलिए $f_P = P \cdot f_1 = 320 \text{ Hz}$।
क्रमिक मोड में अगली उच्च आवृत्ति $(P+1)$ वां हार्मोनिक है, जो $f_{P+1} = (P+1) \cdot f_1 = 400 \text{ Hz}$ के रूप में दी गई है।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(P+1)f_1 - P f_1 = 400 - 320$।
इससे $f_1 = 80 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
$f_1$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $P \cdot 80 = 320$।
अतः, $P = 320 / 80 = 4$।