Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(A) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ એકમ કોષમાં, પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે।
ધારો કે એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a = x \text{ pm}$ છે અને પરમાણુની ત્રિજ્યા $r$ છે।
ફલક વિકર્ણની લંબાઈ $d = \sqrt{2}a = \sqrt{2}x$ થાય।
પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર સ્પર્શતા હોવાથી, વિકર્ણની લંબાઈ $4r$ થાય।
તેથી, $4r = \sqrt{2}x$, જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{\sqrt{2}x}{4} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$।
પરમાણુનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} \text{ pm}$ થાય।

(A) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{ZM}{a^3 N_0}$ છે.
$bcc$ એકમ કોષ માટે: $Z = 2$ અને $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$d_{bcc} = \frac{2M}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 N_0}$.
$fcc$ એકમ કોષ માટે: $Z = 4$ અને $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$d_{fcc} = \frac{4M}{(\frac{4r}{\sqrt{2}})^3 N_0}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{a_{bcc}^3} \times \frac{a_{fcc}^3}{4} = \frac{1}{2} \times (\frac{a_{fcc}}{a_{bcc}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$.

(D) $NaCl$ નું મોલર દળ $= 58.5 \ g/mol$.
$1 \ g \ NaCl = \frac{1}{58.5} \text{ મોલ } NaCl$.
$NaCl$ ના સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $= \frac{1}{58.5} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.03 \times 10^{22} \text{ એકમો}$.
$NaCl$ એ $fcc$ બંધારણ ધરાવે છે,તેથી દરેક એકમ કોષમાં $4$ સૂત્ર એકમો હોય છે.
એકમ કોષની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ સૂત્ર એકમો}}{4} = \frac{1.03 \times 10^{22}}{4} \approx 2.57 \times 10^{21} \text{ એકમ કોષ}$.

(B) આપેલ છે: પરમાણ્વીય દળ $(M) = 120 \ g \ mol^{-1}$,ઘનતા $(d) = 6.25 \ g \ cm^{-3}$,ધારની લંબાઈ $(a) = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$,એવોગેડ્રો આંક $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતા માટેનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $6.25 = \frac{Z \times 120}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$.
ગણતરી કરતા $Z = 2$ મળે છે.
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $2$ હોવાથી,સ્ફટિક લેટીસ અંતઃકેન્દ્રિત (body centered) છે.

(B) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ધારની લંબાઈ $a = x \ \mathring{A} = x \times 10^{-8} \ cm$.
$Cu$ નું પરમાણ્વીય દળ $= 63.5 \ g \ mol^{-1}$.
એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતા $d$ માટેનું સૂત્ર:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{4 \times 63.5}{(x \times 10^{-8})^3 \times 6.0 \times 10^{23}}$
$d = \frac{254}{x^3 \times 10^{-24} \times 6.0 \times 10^{23}}$
$d = \frac{254}{x^3 \times 0.6} = \frac{423.33}{x^3} \approx \frac{423}{x^3} \ g \ cm^{-3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ અથવા $(C)$ છે.

(B) આપેલ છે, બોડી સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ એકમ કોષમાં પરમાણુની ત્રિજ્યા, $r = 173.2 \ pm = 173.2 \times 10^{-10} \ cm$.
$bcc$ રચના માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{3} \cdot a = 4r$ છે.
તેથી, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 173.2 \times 10^{-10}}{1.732} \ cm$.
$a = 4 \times 100 \times 10^{-10} \ cm = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = (4 \times 10^{-8} \ cm)^3$.
$V = 64 \times 10^{-24} \ cm^3 = 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(C) ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
$fcc$ માટે,$Z_1 = 4$ અને $a_1 = 3.5 \ \mathring{A}$.
$bcc$ માટે,$Z_2 = 2$ અને $a_2 = 3.0 \ \mathring{A}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \frac{a_2^3}{a_1^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \frac{(3.0)^3}{(3.5)^3} = 2 \times \frac{27}{42.875} = 2 \times 0.6297 = 1.2594 \approx 1.26 : 1$.

(D) $FCC$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
આપેલ છે કે $r = 25 \ pm = 25 \times 10^{-10} \ cm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 25 \times 10^{-10} \ cm = 70.7 \times 10^{-10} \ cm = 7.07 \times 10^{-9} \ cm$.
એક એકમ કોષનું કદ $(V_{cell})$ એ $a^3 = (7.07 \times 10^{-9} \ cm)^3 \approx 353.5 \times 10^{-27} \ cm^3 = 3.535 \times 10^{-25} \ cm^3$ છે.
$1.0 \ cm^3$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા $\frac{1.0 \ cm^3}{V_{cell}} = \frac{1}{3.535 \times 10^{-25}} \approx 0.2828 \times 10^{25} = 2.828 \times 10^{24}$ છે.

(C) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$fcc$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ અને ધારની લંબાઈ $a = 3.5 \mathring{A}$ છે.
$\rho_{fcc} = \frac{4 \times M}{(3.5)^3 \times N_A}$
$bcc$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ અને ધારની લંબાઈ $a = 3.0 \mathring{A}$ છે.
$\rho_{bcc} = \frac{2 \times M}{(3.0)^3 \times N_A}$
બંને ઘનતાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4 \times (3.0)^3}{2 \times (3.5)^3} = \frac{4 \times 27}{2 \times 42.875} = \frac{108}{85.75} \approx 1.26$
આમ,$fcc$ અને $bcc$ તબક્કાની ઘનતાનો ગુણોત્તર આશરે $1.26:1$ છે.

(A) એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N \times a^3}$ છે,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$N$ એ એવોગેડ્રો નંબર છે અને $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
$bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) લેટિસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $2$ છે.
ઘનતાના સૂત્રમાં $Z = 2$ મૂકતા: $d = \frac{2M}{N \times a^3}$.
$a^3$ ને કર્તા બનાવતા: $a^3 = \frac{2M}{Nd}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $a = \left( \frac{2M}{Nd} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(D) બોડી સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ = $2$ છે.
આપેલ ધારની લંબાઈ $(a)$ = $400 \ pm = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
પરમાણ્વીય દળ $(M)$ = $24 \ g \ mol^{-1}$.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ = $6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{2 \times 24}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$
$d = \frac{48}{64 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}}$
$d = \frac{48}{38.4} = 1.25 \ g \ cm^{-3}$.

(A) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે。
આપેલ છે:
ઘનતા $d = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3} = 2.7 \ \text{g} \ cm^{-3}$.
મોલર દળ $M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1} = 27 \ \text{g} \ mol^{-1}$.
ધારની લંબાઈ $a = 405 \ pm = 405 \times 10^{-10} \ cm = 4.05 \times 10^{-8} \ cm$.
એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$Z$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{2.7 \times (4.05 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{27}$.
$Z = \frac{2.7 \times 66.43 \times 10^{-24} \times 6.02 \times 10^{23}}{27}$.
$Z = \frac{1079.7 \times 10^{-1}}{27} = \frac{107.97}{27} \approx 4$.
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ હોવાથી, આ એકમ કોષ $\text{ફલક કેન્દ્રિત ઘન } (FCC)$ છે。

(A) પાવડર $X$-રે ડિફ્રેક્શન $(PXRD)$ પેટર્નમાં,ડેટાને તીવ્રતા ($y$-અક્ષ) વિરુદ્ધ ડિફ્રેક્શન કોણ $2 \theta$ ($x$-અક્ષ) તરીકે આલેખવામાં આવે છે.
આ તકનીકનો ઉપયોગ સ્ફટિકમય પદાર્થોના લાક્ષણિકતા માટે વ્યાપકપણે થાય છે.

(A) બ્રેગના સમીકરણ મુજબ:
$n \lambda = 2 \ d \sin \theta$
આપેલ છે: $n = 1$, $d = 280 \ pm = 280 \times 10^{-12} \ m$, $\sin \theta = 0.09$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \times 280 \times 10^{-12} \ m \times 0.09}{1}$
$\lambda = 50.4 \times 10^{-12} \ m$
$\lambda = 0.504 \times 10^{-10} \ m = 0.504 \ \mathring{A}$

(C) $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) લેટીસ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $a = 2\sqrt{2}r$.
અહીં $a = 4.242 \mathring{A}$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4.242 = 2 \times 1.414 \times r$.
$4.242 = 2.828 \times r$.
$r = \frac{4.242}{2.828} \approx 1.5 \mathring{A}$.
તેથી, $M$ પરમાણુની ત્રિજ્યા $1.5 \mathring{A}$ છે.

(B) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$fcc$ સ્ફટિક માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે।
આપેલ છે: $d = 2 \ g \ cm^{-3}$, $a = 600 \ pm = 6 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{4 \times M}{(6 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$
$2 = \frac{4 \times M}{216 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}}$
$2 = \frac{4 \times M}{129.6}$
$M = \frac{2 \times 129.6}{4} = 64.8 \ g \ mol^{-1}$.

(B) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે, જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે, $M$ એ મોલર દળ છે, $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે, અને $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
$fcc$ માટે, $Z_{fcc} = 4$ અને $a_{fcc} = 3.5 \ \mathring{A}$.
$bcc$ માટે, $Z_{bcc} = 2$ અને $a_{bcc} = 3 \ \mathring{A}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{Z_{fcc}}{Z_{bcc}} \times \left(\frac{a_{bcc}}{a_{fcc}}\right)^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{3}{3.5}\right)^3 = 2 \times \left(\frac{6}{7}\right)^3 = 2 \times \frac{216}{343} = \frac{432}{343} \approx 1.26$.

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ લેટીસ માટે, ધારની લંબાઈ $(x)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $x = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
અહીં $r = 1.86 \ \mathring{A}$ આપેલ છે, તેથી:
$x = \frac{4 \times 1.86}{\sqrt{3}}$
$x = \frac{7.44}{1.732}$
$x \approx 4.29 \ \mathring{A}$.
આમ, $x$ નું સાચું મૂલ્ય $4.29 \ \mathring{A}$ છે.

(B) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે, $M$ એ મોલર દળ છે, $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે, અને $a$ એ ધારની લંબાઈ છે।
$Z$ માટે સૂત્ર: $Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M}$
આપેલ છે:
$\rho = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$
$M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1}$
$a = 405 \ pm = 4.05 \times 10^{-10} \ m$
$N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{(2.7 \times 10^3) \times (6.023 \times 10^{23}) \times (4.05 \times 10^{-10})^3}{2.7 \times 10^{-2}}$
$Z \approx 4$
આમ, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે।

(C) એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$fcc$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $= 4$ છે.
ધારની લંબાઈ $(a)$ $= x \ \mathring{A} = x \times 10^{-8} \ cm$.
આપેલ છે કે $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ અને $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{4 \times 63.5}{(6.0 \times 10^{23}) \times (x \times 10^{-8})^3} \ g \ cm^{-3}$
$d = \frac{254}{6.0 \times 10^{23} \times x^3 \times 10^{-24}} \ g \ cm^{-3}$
$d = \frac{254}{0.6 \times x^3} \ g \ cm^{-3} = \frac{423.33}{x^3} \ g \ cm^{-3}$
આમ, આશરે ઘનતા $\frac{423}{x^3} \ g \ cm^{-3}$ થાય.

(A) $ccp$ (અથવા $fcc$) એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
આપેલ છે $r = 1.28 \ \mathring{A} = 1.28 \times 10^{-8} \ cm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 1.28 \times 10^{-8} \ cm = 3.62 \times 10^{-8} \ cm$.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{4 \times 63.5}{(3.62 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{254}{47.45 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{254}{28.57} \approx 8.89 \ g/cm^3$.
નજીકના પ્રમાણિત મૂલ્ય મુજબ, ઘનતા આશરે $8.96 \ g/cm^3$ છે.
તેથી, વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) $bcc$ લેટીસ માટે, બોડી ડાયાગોનલ $\sqrt{3}a = 2r^{+} + 2r^{-}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 200 \ pm$ અને કેટાયન ત્રિજ્યા $r^{+} = 70 \ pm$ છે.
$\sqrt{3} = 1.7$ નો ઉપયોગ કરતા, બોડી ડાયાગોનલ $1.7 \times 200 = 340 \ pm$ થાય.
તેથી, $2(70) + 2r^{-} = 340 \ pm$.
$140 + 2r^{-} = 340 \ pm$.
$2r^{-} = 200 \ pm$, તેથી $r^{-} = 100 \ pm$.
ત્રિજ્યા ગુણોત્તર $\frac{r^{+}}{r^{-}} = \frac{70}{100} = 0.7$ થાય.

(B) એકમ કોષની ઘનતા $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$-સ્વરૂપ $(fcc)$ માટે: $Z_1 = 4$, $a_1 = 2 \ pm$.
$\beta$-સ્વરૂપ $(bcc)$ માટે: $Z_2 = 2$, $a_2 = 4 \ pm$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_\alpha}{\rho_\beta} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\rho_\alpha}{\rho_\beta} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{4}{2}\right)^3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$.

(D) આપેલ છે: ઘનતા $(d) = 10.3 \ g \ cm^{-3}$, ધારની લંબાઈ $(a) = 314 \ pm = 314 \times 10^{-10} \ cm$, મોલર દળ $(M) = 247 \ g \ mol^{-1}$ ($\text{$96$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતા તત્વ માટે}$), એવોગેડ્રો આંક $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{10.3 \times (314 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{247}$.
$Z = \frac{10.3 \times 3.0959 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}{247} \approx \frac{192.0}{247} \approx 0.777 \approx 1$.
$Z = 1$ હોવાથી, ઘન પદાર્થનું બંધારણ સાદું ઘન (simple cubic) છે.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{M \times Z}{N_A \times a^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
$Z$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $Z = \frac{d \times N_A \times a^3}{M}$.
આપેલ છે: $d = 8.92 \ g \ cm^{-3}$, $M = 63.55 \ g \ mol^{-1}$, $a = 362 \ pm = 362 \times 10^{-10} \ cm$, અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times (362 \times 10^{-10})^3}{63.55} \approx 4$.
જેથી $Z = 4$ હોવાથી, એકમ કોષ ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ પ્રકારનો છે.

(D) રોક સોલ્ટ બંધારણ ($NaCl$ પ્રકાર) માટે, એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
આપેલ છે: ઘનતા $(\rho)$ $= 3.70 \ g/cm^3$, મોલર દળ $(M)$ $= 120 \ g/mol$, એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ $\approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 120}{3.70 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$a^3 = \frac{480}{22.28 \times 10^{23}} \approx 21.54 \times 10^{-23} = 215.4 \times 10^{-24} \ cm^3$
$a = \sqrt[3]{215.4 \times 10^{-24}} \approx 5.99 \times 10^{-8} \ cm \approx 6 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) આપેલ છે: વિવર્તન કોણ $(2 \theta) = 90^{\circ}$.
તેથી, $\theta = 45^{\circ}$.
બે સમતલો વચ્ચેનું અંતર, $d = 2.28 \ \text{Å}$.
વિવર્તનનો ક્રમ, $n = 2$.
બ્રેગનું સમીકરણ $n \lambda = 2 d \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin 45^{\circ}$.
$\sin 45^{\circ} = 0.7071$ હોવાથી, $2 \lambda = 2 \times 2.28 \times 0.7071$.
$\lambda = 2.28 \times 0.7071 = 1.612 \ \text{Å}$.

(D) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $4r = \sqrt{3}a$.
અહીં પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r = 75 \ pm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$a = \frac{4 \times 75}{\sqrt{3}} = \frac{300}{\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $a = \frac{300 \times \sqrt{3}}{3} = 100 \times \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ હોવાથી, $a = 100 \times 1.732 = 173.2 \ pm$.

(D) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ લેટીસ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે।
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે।
આપેલ છે: $\rho = 5.0 \ g \ cm^{-3}$, $a = 200 \ pm = 2 \times 10^{-8} \ cm$.
$5.0 = \frac{2 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (2 \times 10^{-8})^3}$.
$M = \frac{5.0 \times 6.022 \times 10^{23} \times 8 \times 10^{-24}}{2} = 12.044 \ g \ mol^{-1}$.
$100 \ g$ માં મોલની સંખ્યા $= \frac{100}{M} = \frac{100}{12.044} \approx 8.303 \ mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= \text{મોલ} \times N_A = \frac{100}{M} \times N_A$.
$M$ ની કિંમત મૂકતા:
પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{100 \times 2}{5.0 \times 8 \times 10^{-24}} = \frac{200}{40 \times 10^{-24}} = 5 \times 10^{24}$.

(D) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ એકમ કોષમાં, પરમાણુઓ બોડી ડાયાગોનલ (મુખ્ય વિકર્ણ) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈ $\sqrt{3} a$ છે.
કારણ કે બોડી ડાયાગોનલ ખૂણાના બે પરમાણુઓની ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રના પરમાણુના વ્યાસનો બનેલો છે, તેથી $\sqrt{3} a = 4r$ થાય.
તેથી, પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે.

(A) આપેલ છે કે,
એક $Ag$-પરમાણુનું દળ $= m$.
$Ag$ ધાતુ $fcc$ લેટિસમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$fcc$ લેટિસમાં પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
તેથી, એકમ કોષનું કુલ દળ $= Z \times m = 4m$.
$a$ ધારની લંબાઈ ધરાવતા એકમ કોષનું કદ $V = a^{3}$ છે.
ઘનતા $(\rho) = \frac{\text{એકમ કોષનું દળ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} = \frac{4m}{a^{3}}$.

(C) $1$. એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $(Z)$ ઓળખો: ઋણાયનો $8$ ખૂણાઓ પર છે, જે $8 \times \frac{1}{8} = 1$ ઋણાયન આપે છે. ધનાયન અંતઃકેન્દ્રમાં છે, જે $1$ ધનાયન આપે છે. તેથી, $Z = 1$ છે.
$2$. ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$, જ્યાં $V$ એ એકમ કોષનું કદ છે.
$3$. $V$ માટે સૂત્રને ગોઠવો: $V = \frac{Z \times M}{d \times N_A}$।
$4$. કિંમતો મૂકો: $V = \frac{1 \times 168.6 \text{ g mol}^{-1}}{4 \text{ g cm}^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}}$।
$5$. ગણતરી કરો: $V = \frac{168.6}{24.088 \times 10^{23}} \approx 7.0 \times 10^{-23} \text{ cm}^3$।

(B) પગલું $1$: આપેલ પરિમાણો ઓળખો. $bcc$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે. ધારની લંબાઈ $a = 400 \text{ pm} = 400 \times 10^{-10} \text{ cm} = 4 \times 10^{-8} \text{ cm}$ છે. ઘનતા $d = 3.5 \text{ g cm}^{-3}$ છે. એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ છે.
પગલું $2$: એકમ કોષ માટે ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$।
પગલું $3$: મોલર દળ $M$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવો: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$।
પગલું $4$: કિંમતો મૂકો: $M = \frac{3.5 \times (4 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$।
પગલું $5$: ગણતરી કરો: $a^3 = 64 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$। $M = \frac{3.5 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} = \frac{3.5 \times 64 \times 0.6022}{2} = 3.5 \times 32 \times 0.6022 = 67.4464 \text{ g mol}^{-1}$।
આમ, મોલર દળ આશરે $67.4 \text{ g mol}^{-1}$ છે.

(C) એકમ કોષની ઘનતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
જ્યાં $d$ ઘનતા છે, $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે, $M$ મોલર દળ છે, $a^3$ એ એકમ કોષનું કદ છે, અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આપેલ છે: $d = 2.7 \text{ g cm}^{-3}$, $M = 27 \text{ g mol}^{-1}$, અને $a^3 \times N_A = 40 \text{ cm}^3 \text{ mol}^{-1}$।
$Z$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{2.7 \times 40}{27}$
$Z = \frac{108}{27} = 4$
આમ, એકમ કોષમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.

(D) પગલું $1$: એક એકમ કોષનું દળ એ ધાતુની ઘનતા $(\rho)$ અને એકમ કોષના કદ $(V_{uc})$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક એકમ કોષનું દળ = $\rho \times V_{uc} = 2.5 \times 10^{-22} \text{ g}$.
પગલું $2$: આપેલ દળ $(m)$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}}$.
પગલું $3$: આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{1 \text{ g}}{2.5 \times 10^{-22} \text{ g}} = \frac{1}{2.5} \times 10^{22} = 0.4 \times 10^{22} = 4.0 \times 10^{21}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $fcc$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
આપેલ છે: ઘનતા $d = 8.92 \text{ g cm}^{-3}$, ધારની લંબાઈ $a = 3.608 \times 10^{-8} \text{ cm}$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
$M = \frac{8.92 \times (3.608 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{8.92 \times 46.97 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{252.36}{4} \approx 63.09 \text{ g/mol}$.
આમ, પરમાણ્વીય દળ આશરે $63 \text{ g/mol}$ છે.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા, $Z = 2$ છે.
ઘનતા $d$ નું સૂત્ર છે: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
આપેલ છે: $M = 225 \text{ g mol}^{-1}$, $Z = 2$, અને $a^3 \times N_A = 75 \text{ cm}^3 \text{ mol}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{2 \times 225}{75}$.
$d = \frac{450}{75} = 6.0 \text{ g cm}^{-3}$.
આમ, ઘનતા $6.0 \text{ g cm}^{-3}$ છે.

(B) $fcc$ (ફલક કેન્દ્રિત ઘન) એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ '$a$' અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા '$r$' વચ્ચેનો સંબંધ છે: $4r = a\sqrt{2}$।
આપેલ છે: $a = 360 \text{ pm}$।
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।
$r = \frac{360}{2 \times 1.414} = \frac{360}{2.828} \approx 127.29 \text{ pm}$।
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, ત્રિજ્યા $127.26 \text{ pm}$ છે.

(B) $1$. $fcc$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ કણોની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
$2$. એક કણનું કદ (ગોળાકાર ધારીને) $V_p = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$3$. $fcc$ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે, તેથી $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$4$. $4$ કણોનું કદ = $4 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2\sqrt{2}})^3 = \frac{16}{3} \pi \frac{a^3}{16\sqrt{2}} = \frac{\pi a^3}{3\sqrt{2}}$.
$5$. આપેલ છે $a = 200 \text{ pm} = 2 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
$6$. કદ = $\frac{3.14159 \times (2 \times 10^{-8})^3}{3 \times 1.414} = \frac{3.14159 \times 8 \times 10^{-24}}{4.242} \approx 5.92 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$.

(A) પગલું $1$: ધાતુના નમૂનાનું કુલ કદ શોધો.
કદ = $\frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{18 \text{ g}}{7.2 \text{ g cm}^{-3}} = 2.5 \text{ cm}^3$।
પગલું $2$: એકમ કોષોની સંખ્યા શોધો.
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}} = \frac{2.5 \text{ cm}^3}{2.5 \times 10^{-23} \text{ cm}^3} = 1.0 \times 10^{23}$।

(B) $1$. $bcc$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા, $Z = 2$ છે.
$2$. એક એકમ કોષનું દળ $m = \rho \times V = \rho \times a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. આપેલ છે $\rho \times a^3 = 1.8 \times 10^{-22} \text{ g}$, તેથી એક એકમ કોષનું દળ $1.8 \times 10^{-22} \text{ g}$ છે.
$4$. ધાતુના $90 \text{ g}$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા $N_{uc} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}} = \frac{90 \text{ g}}{1.8 \times 10^{-22} \text{ g}} = 50 \times 10^{22} = 5.0 \times 10^{23}$ છે.
$5$. પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા = $Z \times N_{uc} = 2 \times 5.0 \times 10^{23} = 1.0 \times 10^{24}$ પરમાણુઓ.

(B) $1$. ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા, $Z = 4$ છે.
$2$. ઘનતા $(d)$ માટેનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે, જ્યાં $a^3$ એ એકમ કોષનું કદ છે.
$3$. આપેલ છે: $Z = 4$, $M = 108 \text{ g/mol}$, $V = a^3 = 6.84 \times 10^{-23} \text{ cm}^3$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times 108}{6.84 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$5$. $d = \frac{432}{6.84 \times 6.022} = \frac{432}{41.19} \approx 10.49 \text{ g cm}^{-3}$.

(C) પગલું $1$: ધારની લંબાઈ $a$ ને $\text{pm}$ માંથી $\text{cm}$ માં ફેરવો.
$a = 500 \text{ pm} = 500 \times 10^{-10} \text{ cm} = 5 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
પગલું $2$: એક એકમ કોષનું કદ $(V_{uc} = a^3)$ શોધો.
$V_{uc} = (5 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 = 125 \times 10^{-24} \text{ cm}^3 = 1.25 \times 10^{-22} \text{ cm}^3$.
પગલું $3$: $1 \text{ cm}^3$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા શોધો.
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}} = \frac{1 \text{ cm}^3}{1.25 \times 10^{-22} \text{ cm}^3} = 0.8 \times 10^{22} = 8.0 \times 10^{21}$.

(C) $bcc$ સ્ફટિક રચના માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા, $Z = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે, જ્યાં $M$ મોલર દળ છે અને $N_A$ એવોગેડ્રો આંક છે.
એક એકમ કોષના દળ માટે પુનઃગોઠવણ કરતા: $m_{cell} = \rho \times a^3 = \frac{Z \times M}{N_A}$.
આપેલ છે $\rho \times a^3 = 6.6 \times 10^{-22} \text{ g}$, આ એક એકમ કોષનું દળ છે.
$1 \text{ g}$ ધાતુમાં એકમ કોષોની સંખ્યા $n = \frac{1 \text{ g}}{6.6 \times 10^{-22} \text{ g/unit cell}} \approx 1.515 \times 10^{21} \text{ unit cells}$ છે.
દરેક $bcc$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોવાથી, કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2 \times 1.515 \times 10^{21} = 3.03 \times 10^{21} \text{ પરમાણુઓ}$ છે.

(A) પગલું $1$: સાદી ઘન રચના માટે પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ ઓળખો. સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, $Z = 1$ છે.
પગલું $2$: ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$, જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે, $M$ મોલર દળ છે, $N_A$ એવોગેડ્રો આંક છે, અને $V$ એકમ કોષનું કદ છે.
પગલું $3$: એક એકમ કોષનું દળ શોધવા માટે સૂત્ર ગોઠવો: $\rho \times V = \frac{Z \times M}{N_A}$। આપેલ છે કે $\rho \times V = 66.5 \times 10^{-24} \text{ g}$, જે એક એકમ કોષનું દળ દર્શાવે છે.
પગલું $4$: $1 \text{ g}$ ધાતુમાં એકમ કોષોની સંખ્યાની ગણતરી કરો: $\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}} = \frac{1 \text{ g}}{66.5 \times 10^{-24} \text{ g}} \approx 1.5037 \times 10^{22}$.
પગલું $5$: દરેક એકમ કોષમાં $1$ પરમાણુ હોવાથી $(Z=1)$, પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $1.5037 \times 10^{22} \times 1 = 1.504 \times 10^{22}$ છે.

(B) પગલું $1$: એક એકમ કોષનું દળ તેના કદ $(V)$ અને ઘનતા $(d)$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
એક એકમ કોષનું દળ = $V \times d = 6.65 \times 10^{-23} \text{ g}$.
પગલું $2$: ધાતુના આપેલા દળમાં એકમ કોષોની સંખ્યા, ધાતુના કુલ દળને એક એકમ કોષના દળ વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}}$.
પગલું $3$: આપેલા મૂલ્યોને મૂકતા:
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{0.5 \text{ g}}{6.65 \times 10^{-23} \text{ g}} = 0.07518 \times 10^{23} = 7.518 \times 10^{21}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $fcc$ (ફલક-કેન્દ્રિત ઘન) એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ છે: $a = 2\sqrt{2}r$।
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।
આપેલ છે $a = 408 \text{ pm}$।
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{408}{2 \times 1.414} = \frac{408}{2.828} \approx 144.27 \text{ pm}$।
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, $r = 144.2 \text{ pm}$।