Differentiation of implicit function Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $L = \lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} [t^2]_4^{f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{[f(x)]^2 - 16}{x-1}$.
चूंकि $f(1) = 4$, यह व्यंजक $\frac{0}{0}$ रूप में है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} ([f(x)]^2 - 16)}{\frac{d}{dx} (x-1)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 f(x) f^{\prime}(x)}{1}$.
$f(1) = 4$ और $f^{\prime}(1) = 2$ का मान रखने पर:
$L = 2 \times f(1) \times f^{\prime}(1) = 2 \times 4 \times 2 = 16$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ है।
$y=0$ रखने पर, हमें $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $f(0)=1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}=f^{\prime}(x-y)$ प्राप्त होता है।
$x=0$ रखने पर, हमें $\frac{f^{\prime}(0)}{f(y)}=f^{\prime}(-y)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(0)=p$, इसलिए $f^{\prime}(-y) = \frac{p}{f(y)}$ है।
मूल समीकरण का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $f(x) \cdot (-\frac{f^{\prime}(y)}{(f(y))^2}) = f^{\prime}(x-y) \cdot (-1)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{f(x) f^{\prime}(y)}{(f(y))^2} = f^{\prime}(x-y)$ हो जाता है।
$y=0$ के लिए, $\frac{f(x) f^{\prime}(0)}{(f(0))^2} = f^{\prime}(x)$, इसलिए $f^{\prime}(x) = p f(x)$ है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका हल $f(x) = e^{px}$ है।
अतः $f^{\prime}(x) = p e^{px}$ है।
दिया गया है कि $f^{\prime}(5) = q$, इसलिए $p e^{5p} = q$, जिसका अर्थ है $e^{5p} = \frac{q}{p}$ है।
हमें $f^{\prime}(-5) = p e^{-5p} = \frac{p}{e^{5p}} = \frac{p}{q/p} = \frac{p^2}{q}$ ज्ञात करना है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=4$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
अतः, $y \frac{dy}{dx} + x = 0$.

(B) दिया गया है $y = \frac{1}{1 + x + \ln x}$.
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{1}{y} = 1 + x + \ln x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$.
अतः, $\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}(x + 1)}{x}$.
अब विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $x \frac{dy}{dx} = y(y \ln x - 1)$.
यहाँ $y \ln x - 1 = y \ln x - y(1 + x + \ln x) = y(\ln x - 1 - x - \ln x) = -y(1 + x)$.
इसलिए, $y(y \ln x - 1) = -y^{2}(1 + x)$.
अतः, $x \frac{dy}{dx} = -y^{2}(1 + x)$ सही है।

(C) दिया गया है $y = \sqrt{\cos x^2 + y}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y^2 = \cos x^2 + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x^2 \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -2x \sin x^2$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x \sin x^2}{2y - 1}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{2y - 1}$ से तुलना करने पर, हमें $f(x) = -2x \sin x^2$ प्राप्त होता है।
अब, $\int f(x) dx = \int -2x \sin x^2 dx$।
माना $u = x^2$, तब $du = 2x dx$।
इनका प्रतिस्थापन करने पर, हमें $\int -\sin u du = \cos u + c$ प्राप्त होता है।
$u = x^2$ वापस रखने पर, हमें $\cos x^2 + c$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: चूँकि $(1, 1)$ वक्र $xy + ax + by = 0$ पर स्थित है, इसलिए $(1)(1) + a(1) + b(1) = 0$, जिसका अर्थ है $1 + a + b = 0$, या $a + b = -1$ है।
चरण $2$: समीकरण $xy + ax + by = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $(1, 1)$ पर, ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (1)(2) + a + b(2) = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: यह $1 + 2 + a + 2b = 0$ में सरल हो जाता है, अतः $a + 2b = -3$ है।
चरण $5$: समीकरणों $a + b = -1$ और $a + 2b = -3$ को हल करने पर, दूसरे में से पहले को घटाने पर: $(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$ प्राप्त होता है। तब $a = -1 - (-2) = 1$ है।
चरण $6$: $\frac{ab}{a + b} = \frac{(1)(-2)}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$ की गणना करें।

(A) दिया गया है $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies 2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies \sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$।
पुनः वर्ग करने पर: $y^2 - x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2 \implies -x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y \implies c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $c^2 \frac{dy}{dx} = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$।
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ से, हमारे पास $\frac{c^2}{2} = y + \sqrt{y^2 - x^2}$ है।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(y + \sqrt{y^2 - x^2})} = \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} = \frac{x}{y + y\sqrt{1 - (x/y)^2}} = \frac{x/y}{1 + \sqrt{1 - (x/y)^2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{1 - (1 - (x/y)^2)} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{(x/y)^2} = \frac{1 - \sqrt{1 - (x/y)^2}}{x/y} = \frac{y}{x} - \sqrt{(y/x)^2 - 1}$।
$\frac{dy}{dx} = f(x) - \sqrt{[f(x)]^2 - 1}$ से तुलना करने पर, $f(x) = \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: $x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात करें। $e^y + xy = e$ में $x = 0$ रखने पर, $e^y + 0 = e$, अतः $y = 1$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $e^y + xy = e$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$।
चरण $3$: $x = 0, y = 1$ को अवकलज में रखने पर: $e^1 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$।
चरण $4$: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ का पुनः अवकलन करने पर: $e^y (\frac{dy}{dx})^2 + e^y \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $5$: $x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ को द्वितीय अवकलज समीकरण में रखने पर: $e^1(-\frac{1}{e})^2 + e^1 \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$।
चरण $6$: सरल करने पर: $\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0 \implies e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
चरण $7$: क्रमित युग्म $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ है।

(A) दिया गया है $y^m + y^{-m} = 2x$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$m y^{m-1} \frac{dy}{dx} - m y^{-m-1} \frac{dy}{dx} = 2$।
$\frac{dy}{dx} (m y^{m-1} - m y^{-m-1}) = 2$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{m(y^{m-1} - y^{-m-1})} = \frac{2y}{m(y^m - y^{-m})}$।
दिए गए समीकरण से, $(y^m - y^{-m})^2 = (y^m + y^{-m})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$।
अतः, $y^m - y^{-m} = 2\sqrt{x^2 - 1}$।
इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{m(2\sqrt{x^2 - 1})} = \frac{y}{m\sqrt{x^2 - 1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2(x^2 - 1)}$।
इसलिए, $(x^2 - 1) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2}$।

(B) दिया गया समीकरण: $x e^{xy} = y + \sin^2 x$ है।
चरण $1$: $x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात करें।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $0 \cdot e^{0} = y + \sin^2(0) \implies 0 = y + 0 \implies y = 0$।
चरण $2$: गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d}{dx}(x e^{xy}) = \frac{d}{dx}(y + \sin^2 x)$
$e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin x \cos x$।
चरण $3$: अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखें:
$e^{0} + 0 \cdot e^{0} \cdot (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin(0) \cos(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1$।

(C) दिया गया समीकरण: $3y^2 - 2xy - x = 0$ है।
सबसे पहले, $y = 2$ होने पर $x$ का मान ज्ञात करें: $3(2)^2 - 2x(2) - x = 0 \implies 12 - 4x - x = 0 \implies 12 = 5x \implies x = \frac{12}{5}$।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{d}{dx}(3y^2) - \frac{d}{dx}(2xy) - \frac{d}{dx}(x) = 0$।
$6y \frac{dy}{dx} - (2y + 2x \frac{dy}{dx}) - 1 = 0$।
$y = 2$ और $x = \frac{12}{5}$ प्रतिस्थापित करें: $6(2) \frac{dy}{dx} - 2(2) - 2(\frac{12}{5}) \frac{dy}{dx} - 1 = 0$।
$12 \frac{dy}{dx} - 4 - \frac{24}{5} \frac{dy}{dx} - 1 = 0$।
$(12 - \frac{24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$।
$(\frac{60 - 24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$।
$\frac{36}{5} \frac{dy}{dx} = 5$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{25}{36}$।

(D) दिया गया है $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{(y + x)(y - x)} = c^2$
$2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$
पुनः वर्ग करने पर:
$y^2 - x^2 = (\frac{c^2}{2} - y)^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2$
$-x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y$
$c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$c^2 \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ से, $c^2 = 2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)$।
$\frac{dy}{dx}$ में $c^2$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)} = \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2} + y}$
इसे परिमेयकरण करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{y^2 - (y^2 - x^2)} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{x^2} = \frac{y - \sqrt{y^2 - x^2}}{x} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$
$\frac{dy}{dx} = K - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$ से तुलना करने पर, $K = \frac{y}{x}$।

(B) दिया गया है: $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 6$।
$\sqrt{xy}$ से गुणा करने पर: $x + y = 6\sqrt{xy}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + y)^2 = 36xy$।
$x^2 + 2xy + y^2 = 36xy \implies x^2 - 34xy + y^2 = 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(x^2) - 34\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$।
$2x - 34(y + x\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$।
$2$ से भाग देने पर: $x - 17y - 17x\frac{dy}{dx} + y\frac{dy}{dx} = 0$।
$x - 17y = \frac{dy}{dx}(17x - y)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - 17y}{17x - y}$।

(B) दिया गया है $y = (\tan x + y)^{1/3}$।
दोनों पक्षों का घन करने पर: $y^3 = \tan x + y$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(\tan x + y)$।
$3y^2 \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x$।
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 1) = \sec^2 x$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{3y^2 - 1}$।

(C) दिया गया है $x^{1/2} y^{1/3} = (x + y)^n$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{3} \ln y = n \ln(x + y)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} \frac{dy}{dx} = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{dy}{dx})$।
दिया है $x \frac{dy}{dx} - y = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$।
अवकलित समीकरण में $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} (\frac{y}{x}) = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{y}{x})$।
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{n}{x + y} (\frac{x + y}{x})$।
$\frac{3 + 2}{6x} = \frac{n}{x}$।
$\frac{5}{6x} = \frac{n}{x} \implies n = \frac{5}{6}$।