Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(A) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 13\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$।
आयतन $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(1, 1, 1) \cdot (13, -7, -2)| = |13 - 7 - 2| = 4 \text{ घन इकाई}$।
आधार का क्षेत्रफल $A$, आधार सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$।
$A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38}$।
ऊँचाई $h = V / A = 4 / \sqrt{38} = 2\sqrt{2} / \sqrt{19} \text{ इकाई}$।

(A) तीन सदिश $\vec{a}$, $\vec{b}$, और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो, अर्थात $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$।
$-1(c_3 - 2) = 0$।
$c_3 - 2 = 0$।
$c_3 = 2$।

(C) समांतर चतुर्भुज $OBDC$ में, विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{d_2} = \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\vec{OB} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) + (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k} \implies \vec{OB} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2\vec{OC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k} \implies \vec{OC} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$।
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$।
$= 1(4 - 2) - 2(-4 - 4) + 3(-1 - 2) = 1(2) - 2(-8) + 3(-3) = 2 + 16 - 9 = 9$।
अतः, आयतन $9$ घन इकाई है।

(D) माना $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है। परिभाषा के अनुसार, $\vec{a} \cdot \vec{p} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{V} = 1$ है।
इसी प्रकार, $\vec{b} \cdot \vec{q} = 1$ और $\vec{c} \cdot \vec{r} = 1$ है।
साथ ही, $\vec{b} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$, और $\vec{b} \cdot \vec{r} = 0$ है क्योंकि किसी सदिश का स्वयं को शामिल करने वाले क्रॉस उत्पाद के साथ अदिश गुणनफल शून्य होता है।
अब, व्यंजक का विस्तार करें: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r} = (\vec{a} \cdot \vec{p} + \vec{b} \cdot \vec{p}) + (\vec{b} \cdot \vec{q} + \vec{c} \cdot \vec{q}) + (\vec{c} \cdot \vec{r} + \vec{a} \cdot \vec{r})$ है।
मान रखने पर: $(1 + 0) + (1 + 0) + (1 + 0) = 3$ प्राप्त होता है।

(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
माना सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$, $\vec{v} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$, और $\vec{w} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$ है।
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$।
$-(ab - c^2) = 0$।
$c^2 = ab$।
$c = \sqrt{ab}$।
अतः, $c$, $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(A) चरण $1$: अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ का उपयोग करके समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करें।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(1 - (-9)) = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}$.
आयतन $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(-2)(14) + (5)(2) + (3)(10)| = |-28 + 10 + 30| = 12$.
चरण $2$: $\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जो $|\vec{b} \times \vec{c}|$ है।
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 4 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
चरण $3$: ऊँचाई $h = V / \text{क्षेत्रफल} = 12 / (10\sqrt{3}) = 6 / (5\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}) / 15 = 2\sqrt{3} / 5$.

(D) फलन $f(x)$ अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है, जो सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$
स्थानीय उच्चिष्ठ ज्ञात करने के लिए, $f'(x) = 3x^2 - 27$ प्राप्त करते हैं। $f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 9$, अतः $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
$f''(x) = 6x$। स्थानीय उच्चिष्ठ के लिए, $f''(x) < 0$ होना चाहिए, अतः $x_0 = -3$ है।
अब $x = -3$ पर $\vec{a} \cdot \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (-3)(7) + (-2)(-2) + (3)(-3) = -21 + 4 - 9 = -26$।

(B) अदिश त्रिक गुणनफल को $[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot ((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}))$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए, हम $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})$ का विस्तार करते हैं:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$
$= ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) + ((\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b})$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}$
अब, $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot [(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}]$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{a}) - |\vec{a}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$= (8)(16) - (16)(8) + (9)(16) - (8)(8)$
$= 0 + 144 - 64 = 80$.

(D) चूंकि $\vec{c}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है, इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$ होगा।
यह घटकों के सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$.
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$.
$4 + 2x = 0$.
$2x = -4$.
$x = -2$.

(A) शीर्षों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ द्वारा दिया जाता है।
माना $\vec{a} = (5, -1, 1)$, $\vec{b} = (7, -4, p)$, $\vec{c} = (1, -6, 10)$, $\vec{d} = (-1, -3, 7)$ है।
$\vec{b}-\vec{a} = (2, -3, p-1)$, $\vec{c}-\vec{a} = (-4, -5, 9)$, $\vec{d}-\vec{a} = (-6, -2, 6)$ है।
आयतन $V = \frac{1}{6} |\det \begin{pmatrix} 2 & -3 & p-1 \\ -4 & -5 & 9 \\ -6 & -2 & 6 \end{pmatrix}| = 11$ है।
$|2(-30 + 18) + 3(-24 + 54) + (p-1)(8 - 30)| = 66$ है।
$|2(-12) + 3(30) + (p-1)(-22)| = 66$ है।
$|-24 + 90 - 22p + 22| = 66$ है।
$|88 - 22p| = 66$ है।
स्थिति $1$: $88 - 22p = 66 \implies 22p = 22 \implies p = 1$ है।
स्थिति $2$: $88 - 22p = -66 \implies 22p = 154 \implies p = 7$ है।
अतः, $p$ का एक मान $1$ है।

(A) दिया गया है, समांतर षट्फलक का आयतन $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$ है।
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$, $\vec{v} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$, $\vec{w} = 2(\vec{b} \times \vec{c})$ है।
अतः, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (2(\vec{a} \times \vec{c})) \ (2(\vec{b} \times \vec{c}))] = 4 [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})]$ है।
सर्वसमिका $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ का उपयोग करने पर, $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 4 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36$ है।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ घन इकाई}$ है।

(A) सारणिक $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|$ अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ को दर्शाता है।
चूंकि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है, इसलिए $\vec{a} = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$।
अतः, $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm |\vec{b} \times \vec{c}|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें मान $|\vec{b} \times \vec{c}|^2$ प्राप्त होता है।
सूत्र $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\theta)$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 \sin^2(\frac{\pi}{3}) = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2$।