Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$f_1 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
અંતે,કેપેસીટન્સ $C$ ને $C^{\prime}$ માં બદલવાથી રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f_2 = 2f_1$ થાય છે.
તેથી,$f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}}$.
સમીકરણમાં $f_2 = 2f_1$ મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $2 \pi$ અને $\sqrt{L}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{C^{\prime}}} = \frac{2}{\sqrt{C}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{4}{C}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C}{C^{\prime}} = 4$ મળે છે.
નોંધ: અવરોધ $R$ માં થતો ફેરફાર $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સીને અસર કરતું નથી.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જો કેપેસીટન્સ $C$ અચળ રહે,તો અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ છે અને ઇન્ડક્ટન્સ $L$ છે. તેથી,$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સને $\sqrt{3}$ ગણું વધારવામાં આવે,ત્યારે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = \sqrt{3}L$ થાય છે. અવરોધ $R$ માં થતો ફેરફાર અનુનાદ આવૃત્તિને અસર કરતું નથી.
નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f'$ આ મુજબ મળે: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(\sqrt{3}L)C}}$.
$f'$ ને $f_0$ વડે ભાગતા: $\frac{f'}{f_0} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{\sqrt{3}LC}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}} = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} = \left(\frac{1}{3^{1/2}}\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/4}$.
તેથી,નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f' = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/4} f_0$ થશે.

(D) $R-L-C$ શ્રેણી સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટર (અથવા કેપેસિટર) પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ અને રઝિસ્ટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I X_L}{I R} = \frac{\omega_0 L}{R}$.
અનુનાદ સમયે,અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sqrt{LC} = \frac{1}{\omega_0}$ મૂકતા,આપણે $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ પણ લખી શકીએ છીએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,ક્વોલિટી ફેક્ટર માટેનું સૂત્ર $\frac{\omega_0 L}{R}$ છે.

(C) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં, અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 100 \Omega$, $L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$, $f_0 = \frac{1250}{\pi} \text{ Hz}$.
અનુનાદ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1250}{\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times C}}$
$1250 = \frac{1}{2\sqrt{0.02 \times C}}$
$2500 = \frac{1}{\sqrt{0.02 \times C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$6.25 \times 10^6 = \frac{1}{0.02 \times C}$
$C = \frac{1}{0.02 \times 6.25 \times 10^6} = \frac{1}{0.125 \times 10^6} = 8 \times 10^{-6} \text{ F} = 8 \mu\text{F}$.
જ્યારે $V = 25 \text{ V}$ ના $DC$ સ્ત્રોત દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે, ત્યારે સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C \times V = 8 \times 10^{-6} \text{ F} \times 25 \text{ V} = 200 \times 10^{-6} \text{ C} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ C} = 0.2 \text{ mC}$.

(D) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં, જો બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ પર પ્રવાહ સમાન હોય, તો આ આવૃત્તિઓ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ થી ભૌમિતિક રીતે સમાન અંતરે હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ એ બે આવૃત્તિઓના ભૌમિતિક મધ્યક દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પ્રવાહ સમાન હોય છે:
$f_0 = \sqrt{f_1 \times f_2}$
આપેલ છે:
$f_1 = 200 \ Hz$
$f_2 = 800 \ Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$f_0 = \sqrt{200 \times 800}$
$f_0 = \sqrt{160000}$
$f_0 = 400 \ Hz$
આમ, પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિ $400 \ Hz$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
ખૂબ જ ઓછી આવૃત્તિઓ $(\omega \to 0)$ પર, કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ખૂબ મોટું હોય છે, જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ખૂબ વધારે હોય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે, તેમ પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ ઘટે છે જ્યાં સુધી તે રેઝોનન્સ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ પર શૂન્ય ન થાય. આ બિંદુએ, $Z = R$ થાય છે, જે લઘુત્તમ મૂલ્ય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $\omega_0$ થી આગળ વધે છે, તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ પ્રભાવી બને છે, અને પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ ફરીથી વધે છે, જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
તેથી, ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે અને પછી વધે છે.

(B) $LCR$ સર્કિટમાં, અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $V = 5 \sin(100t)$ પરથી, આપણને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપેલ $L = 2 \text{ H}$ છે, આપણે આ મૂલ્યોને અનુનાદના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$100 = \frac{1}{\sqrt{2 \times C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$10000 = \frac{1}{2C}$
$C = \frac{1}{2 \times 10000} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu\text{F}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ જેટલું થાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં, કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે, જેનો અર્થ છે કે પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક તરીકે વર્તે છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે, $Z = R$ હોવાથી, $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.

(D) અનુનાદની સ્થિતિમાં, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega_0 L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ થાય.
આપેલ છે: $L = 1.6 \ \text{H}$ અને $C = 40 \ \mu\text{F} = 40 \times 10^{-6} \ \text{F}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_L = \sqrt{\frac{1.6}{40 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^6}{40}} = \sqrt{0.04 \times 10^6} = \sqrt{40000} = 200 \ \Omega$.
તેથી, અનુનાદ આવૃત્તિએ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $200 \ \Omega$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ માટેનું સૂત્ર: $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 0.1 \mu\text{F} = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-7} \text{ F}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-3} \times 10^{-7}} = \sqrt{10^{-10}} = 10^{-5}$.
હવે, $f_r = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{2 \times 3.14159} \approx \frac{100000}{6.283} \approx 15915.5 \text{ Hz}$.
kHz માં ફેરવતા, $f_r \approx 15.9 \text{ kHz}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $V_m = 220 \text{ V}$ અને $\omega = 2 \times 10^3 \text{ rad/s}$ છે.
પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (2 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-3}) = 20 \Omega$ ગણો.
ત્યારબાદ, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(2 \times 10^3) \times (25 \times 10^{-6})} = \frac{1}{0.05} = 20 \Omega$ ગણો.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \Omega$ થાય.
તેથી, પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_m = \frac{V_m}{Z} = \frac{220}{100} = 2.2 \text{ A}$ મળે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, જ્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં હોય ત્યારે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે.
$X_L = X_C$
$2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$
આપેલ છે: $R = 100 \text{ } \Omega$, $L = (4/\pi^2) \text{ H}$, $f = 50 \text{ Hz}$.
અનુનાદની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \pi (50) \times (4/\pi^2) = \frac{1}{2 \pi (50) \times C}$
$100 \pi \times (4/\pi^2) = \frac{1}{100 \pi C}$
$400/\pi = \frac{1}{100 \pi C}$
$C = \frac{1}{100 \pi \times (400/\pi)}$
$C = \frac{1}{40000} \text{ F}$
$C = 0.25 \times 10^{-4} \text{ F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F} = 25 \text{ } \mu\text{F}$.

(B) અનુનાદ સમયે, પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V_R / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $V_R = 200 \text{ V}$ અને $R = 800 \text{ } \Omega$, તેથી $I = 200 / 800 = 0.25 \text{ A}$.
અનુનાદ સમયે, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\omega = 250 \text{ rad/s}$ અને $C = 2 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે, તેથી $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \text{ } \Omega$.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I \times X_C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $V_C = 0.25 \times 2000 = 500 \text{ V}$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, અનુનાદ (resonance) સમયે મહત્તમ પ્રવાહ વહે છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે $(X_L = X_C)$.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મૂલ્યમાં સમાન હોય છે, તેથી $V_L = V_C = I_{max} X_L = I_{max} X_C$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે અને ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
$V_C = I_{max} X_C$ હોવાથી, $U_C = \frac{1}{2} C (I_{max} X_C)^2 = \frac{1}{2} C I_{max}^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2 (\frac{1}{\omega^2 C})$ મળે.
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$ નો ઉપયોગ કરતા, $U_C = \frac{1}{2} I_{max}^2 (LC) = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ મળે.
આમ, $U_C = U_L$, જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $U_C : U_L = 1 : 1$ થાય. આપેલા વિકલ્પોમાં આ મૂલ્ય નથી, જે સૂચવે છે કે પ્રશ્નમાં કોઈ ક્ષતિ હોઈ શકે છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, જ્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય ત્યારે પ્રવાહ અને emf સમાન કળામાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, અને પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: $R = 20 \text{ } \Omega$, $V_{rms} = 220 \text{ V}$.
emf નો કંપવિસ્તાર (પીક વોલ્ટેજ) $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \text{ V}$ થાય.
અનુનાદ સમયે, ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 20 \text{ } \Omega$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \text{ A}$ મળે.
આપણે $I_0 = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \text{ A}$ લખી શકીએ.
આને આપેલ સ્વરૂપ $[x]^{1/2} \text{ A}$ સાથે સરખાવતા, $x = 242$ મળે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ નું સૂત્ર $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ છે, જ્યાં $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ એ અનુનાદીય કોણીય આવૃત્તિ છે.
$\omega_0$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R}$ મળે છે.
બેન્ડ વિડ્થ $(BW)$ નું મૂલ્ય $\frac{R}{L}$ આપેલ છે.
આપણે ક્વોલિટી ફેક્ટર અને બેન્ડ વિડ્થનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{Q}{BW} = \frac{\frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R}}{\frac{R}{L}} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} \cdot \frac{L}{R} = \sqrt{\frac{1}{LC}} \cdot \frac{L^2}{R^2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = L + 2L = 3L$ છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C' = 9C$ છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3L)(9C)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{27LC}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{27}\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi(3\sqrt{3})\sqrt{LC}}$.
કારણ કે $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, તેથી આપણે $f'$ ના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકીએ:
$f' = \frac{f}{3\sqrt{3}}$.
આમ, નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f/(3\sqrt{3})$ થશે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે, જે ઇમ્પિડન્સનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$Z$ ન્યૂનતમ હોવાથી, પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = 0$ દ્વારા મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0$.
આમ, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(A) સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ ત્યારે વહે છે જ્યારે તે અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે.
$X_L = X_C \implies \omega L = \frac{1}{\omega C}$
અહીં, $\omega = 2\pi f$ છે.
તેથી, $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$
આપેલ છે: $L = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$, $f = 10 \text{ kHz} = 10^4 \text{ Hz}$, $\pi^2 = 10$
$C = \frac{1}{4 \times 10 \times (10^4)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{80 \times 10^2} = \frac{1}{8000}$
તેથી, $x = 8000$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું મૂલ્ય $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ થાય છે, જે ઇમ્પિડન્સનું લઘુત્તમ મૂલ્ય છે.
જેથી પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ મહત્તમ બને છે.
વળી, અનુનાદ સમયે, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = 0$ દ્વારા મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0$.
કળા તફાવત $0$ હોવાથી, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(A) અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ પર, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ સમાન હોય છે, તેથી $X_C = X_L$ થાય.
આપેલ છે કે $X_C = 1/(\omega_0 C)$ અને $X_L = \omega_0 L$, તેથી $\omega_0$ પર $1/(\omega_0 C) = \omega_0 L$ થાય.
જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરીને $\omega' = 2\omega_0$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C' = 1/(2\omega_0 C) = X_C / 2$ થાય.
નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = (2\omega_0) L = 2 X_L$ થાય.
કેમ કે $X_C = X_L$ છે, તેથી નવા કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ અને નવા ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $X_C' / X_L' = (X_C / 2) / (2 X_L) = 1/4$ થાય.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે. અનુનાદ સમયે, $X_L = X_C$, તેથી $Z = R$ (ન્યૂનતમ) થાય છે. $I = V/Z$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ મહત્તમ મળે છે.
સમાંતર $LCR$ સર્કિટમાં, એડમિટન્સ $Y = \sqrt{(1/R)^2 + (1/X_C - 1/X_L)^2}$ છે. અનુનાદ સમયે, $1/X_C = 1/X_L$, તેથી $Y = 1/R$ (ન્યૂનતમ) થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પિડન્સ $Z = 1/Y = R$ મહત્તમ છે. $I = V/Z$ હોવાથી, પ્રવાહ $I$ ન્યૂનતમ મળે છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં, ઈમ્પિડન્સ (પ્રતિબાધા) $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
r.m.s. પ્રવાહ $i = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર, ઈમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ હોય છે, અને તેથી પ્રવાહ $i$ મહત્તમ હોય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ એ $f_0$ થી દૂર જાય છે (વધે અથવા ઘટે), તેમ ઈમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે, જેના કારણે પ્રવાહ $i$ ઘટે છે.
આવૃત્તિ $f$ સાથે પ્રવાહ $i$ નો આ ફેરફાર ઘંટ આકારના વક્ર (bell-shaped curve) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જે આલેખ $(P)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, પ્રવાહ $I = V_R / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આપેલ છે કે $V_R = 100 \text{ V}$ અને $R = 1000 \Omega$, તેથી $I = 100 / 1000 = 0.1 \text{ A}$.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે।
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (\omega C) = 1 / (200 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (400 \times 10^{-6}) = 10^6 / 400 = 2500 \Omega$ છે।
સર્કિટ અનુનાદમાં હોવાથી, $X_L = X_C = 2500 \Omega$ થાય.
ઇન્ડક્ટર $L$ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L = 0.1 \text{ A} \times 2500 \Omega = 250 \text{ V}$ મળે છે।