Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ कक्षा के तल के लंबवत है, इसलिए बल $\vec{F}$ वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है (अभिकेंद्र बल)।
नाभिक के परितः टॉर्क $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ केंद्र की ओर निर्देशित है, स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ संरेख (प्रति-समांतर) हैं।
इसलिए, $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ है।
चूंकि टॉर्क शून्य है, टॉर्क सदिश का किसी भी सदिश के साथ अदिश गुणनफल, जिसमें कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ भी शामिल है, शून्य होना चाहिए: $\vec{\tau} \cdot \vec{L} = 0$।

(A, C) कण क्षेत्र-$c$ में तब प्रवेश करता है यदि उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$, क्षेत्र-$b$ की चौड़ाई $L$ से अधिक हो।
चूंकि $R = \frac{mv}{qB}$, इसलिए क्षेत्र-$c$ में प्रवेश करने की शर्त $\frac{mv}{qB} > L$ है, जिसका अर्थ है $v > \frac{qBL}{m}$। अतः, विकल्प $A$ सही है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है और वेग सदिश $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है, इसलिए चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है, जिससे क्षेत्र-$b$ में कण का पथ वृत्ताकार हो जाता है। अतः, विकल्प $C$ सही है।
क्षेत्र-$b$ में बिताया गया समय $t = \frac{\theta}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ केंद्र पर अंतरित कोण है और $\omega = \frac{qB}{m}$ कोणीय वेग है। चूंकि कोण $\theta$ त्रिज्या $R$ (और इसलिए वेग $v$) पर निर्भर करता है, इसलिए क्षेत्र-$b$ में बिताया गया समय वेग $v$ पर निर्भर करता है। अतः, विकल्प $D$ गलत है।

(D) जब कोई आवेशित कण $v$ वेग के साथ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है (अर्थात $\theta = 90^{\circ}$), तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है।
यह बल वेग के लंबवत कार्य करता है, जो वृत्तातीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{mv}{qB}$
चूंकि कण का संवेग $p = mv$ होता है, इसलिए हम लिख सकते हैं:
$r = \frac{p}{qB}$
इस समीकरण से स्पष्ट है कि त्रिज्या $r$ कण के संवेग $p$ के सीधे आनुपातिक है।
अतः, विकल्प $(D)$ सही है।

(A) प्रश्न के अनुसार, कण पर आवेश $q$ है और इसका वेग $v$ है।
समान विद्युत क्षेत्र के कारण, कण पर विद्युत बल $F_{\text{electric}} = qE$ है।
समान चुंबकीय क्षेत्र के कारण, कण पर चुंबकीय बल $F_{\text{magnetic}} = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
कण के बिना विक्षेपित हुए चलने के लिए, कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि विद्युत बल और चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए: $F_{\text{electric}} = F_{\text{magnetic}}$।
परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $qE = qvB$ प्राप्त होता है।
वेग के लिए हल करने पर, हमें $v = \frac{E}{B}$ प्राप्त होता है।
अतः, कण के बिना विक्षेपित हुए चलने की स्थिति $v = \frac{E}{B}$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
यह सूत्र दर्शाता है कि आवर्तकाल $T$ केवल द्रव्यमान $m$, आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ पर निर्भर करता है।
चूंकि $m$, $q$ और $B$ स्थिर रहते हैं, इसलिए आवर्तकाल $T$ प्रोटॉन की चाल $v$ से स्वतंत्र है।
अतः, यदि चाल को बढ़ाकर $\sqrt{2}v$ भी कर दिया जाए, तो आवर्तकाल $T$ ही रहेगा।

(A) दिया गया है:
प्रोटॉन का वेग $v = 10^{6} \ m/s$, $Y$-अक्ष के अनुदिश।
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \times 10^{4} \ V/m$, ऋणात्मक $X$-अक्ष के अनुदिश।
विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m} = 10^{8} \ C/kg$।
चूंकि प्रोटॉन एकसमान वेग से गति कर रहा है, इसलिए उस पर कुल बल शून्य है। अतः, चुंबकीय बल विद्युत बल को संतुलित करता है:
$qE = qvB$
$B = \frac{E}{v} = \frac{2 \times 10^{4}}{10^{6}} = 2 \times 10^{-2} \ T$
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है, तो प्रोटॉन चुंबकीय बल के कारण वृत्ताकार पथ में गति करता है, जो अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{(e/m)B}$
$R = \frac{10^{6}}{10^{8} \times 2 \times 10^{-2}}$
$R = \frac{10^{6}}{2 \times 10^{6}} = 0.5 \ m$
अतः, वृत्त की त्रिज्या $0.5 \ m$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
जब कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर, $R = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$, $V$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं, इसलिए $R \propto \sqrt{m}$ है।
अतः, $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \sqrt{\frac{m_{A}}{m_{B}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $\frac{m_{A}}{m_{B}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: गतिज ऊर्जा $= E$, द्रव्यमान $= m$, चुंबकीय क्षेत्र $= B$, आवेश $= q$.
जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है, तो चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$F_m = qvB$ और $F_c = \frac{mv^2}{r}$.
इन दोनों को बराबर करने पर, $qvB = \frac{mv^2}{r}$, जो सरल होकर $r = \frac{mv}{qB}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
$v$ का मान त्रिज्या के सूत्र में रखने पर:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{2E}}{\sqrt{m} \cdot qB} = \frac{\sqrt{2Em}}{qB}$.

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ वाले क्षेत्र में $v$ वेग से गति करने वाले आवेशित कण के लिए, लोरेंत्ज़ बल $F = q(E + v \times B)$ होता है।
कण के बिना विक्षेपित हुए गुजरने के लिए, कुल बल शून्य होना चाहिए, अर्थात $qE = -q(v \times B)$।
प्रोटॉन $(q > 0)$ के लिए: विद्युत बल $F_E = qE$ नीचे की ओर है। चुंबकीय बल $F_B = q(v \times B)$ ऊपर की ओर है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $v$ दाईं ओर है, $B$ बाहर की ओर है, इसलिए $v \times B$ ऊपर की ओर है)। बिना विक्षेपण के लिए, $qE = qvB$, जो $v = E/B$ देता है।
इलेक्ट्रॉन $(q < 0)$ के लिए: विद्युत बल $F_E = qE$ ऊपर की ओर है। चुंबकीय बल $F_B = q(v \times B)$ नीचे की ओर है (चूंकि $q$ ऋणात्मक है, $F_B$ की दिशा उलट जाती है)। बिना विक्षेपण के लिए, $|q|E = |q|vB$, जो भी $v = E/B$ देता है।
अतः, $v = E/B$ गति वाले इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों स्लिट से गुजरेंगे। इस प्रकार, विकल्प $A$ सही है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ है।
यह चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{R}$।
त्रिज्या $R$ के लिए हल करने पर, हमें $R = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
परिक्रमण काल $T$ एक पूर्ण वृत्त को पूरा करने में लगा समय है, जिसे $T = \frac{2\pi R}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$T$ के सूत्र में $R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T$ केवल द्रव्यमान $m$, आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है, इसलिए यह रैखिक गति $v$ और त्रिज्या $R$ दोनों से स्वतंत्र है।

(B) कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र में कुंडलिनी (helical) गति करता है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_\parallel = 2 \times 10^{-2} \text{ m/s}$ ($\hat{k}$ दिशा में) है।
एक चक्कर का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है।
दिया गया है: $m = 5 \text{ mg} = 5 \times 10^{-6} \text{ kg}$, $q = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$, $B = 0.1 \text{ T}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 5 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-6} \times 0.1} = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi \text{ s}$.
कुंडलिनी की पिच $p = v_\parallel \times T = (2 \times 10^{-2}) \times (20\pi) = 0.4\pi \text{ m}$ है।
$5$ चक्करों के लिए, $\hat{k}$ दिशा में कुल दूरी $\alpha = 5 \times p = 5 \times 0.4\pi = 2\pi \text{ m}$ होगी।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $\alpha = 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ m}$ प्राप्त होता है।

(B) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-2)(-5) - (3)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(3) - (-2)(2))$
$= \hat{i}(10 - 9) - \hat{j}(-5 - 6) + \hat{k}(3 + 4)$
$= 1\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}$.
इस सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 11^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 121 + 49} = \sqrt{171}$ है।
यहाँ $q = 1 \mu\text{C} = 10^{-6} \text{ C}$ दिया गया है, इसलिए बल का परिमाण $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = 10^{-6} \times \sqrt{171} \text{ N}$ होगा।
इसे $\sqrt{\alpha} \times 10^{-6} \text{ N}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\alpha = 171$ प्राप्त होता है।

(B) आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $\vec{F} = m\vec{a}$, इसलिए $m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}$ हमेशा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होता है, इसलिए त्वरण $\vec{a}$ भी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः, त्वरण और चुंबकीय क्षेत्र का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$।
यहाँ $\vec{B} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) \ \text{T}$ और $\vec{a} = (4\hat{i} - \frac{x}{2}\hat{j}) \ \text{m/s}^2$ दिया गया है, इसलिए अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(4)(3) + (-\frac{x}{2})(2) = 0$
$12 - x = 0$
$x = 12$।

(A) $1$. $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित आवेशित कण $q$ द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
$2$. गतिज ऊर्जा को $K = p^2 / 2m$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है, जहाँ $p$ संवेग है और $m$ द्रव्यमान है। अतः, $qV = p^2 / 2m$, जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mqV}$।
$3$. जब एक आवेशित कण $B$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है, तो वह $r = p / (qB)$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
$4$. $p$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $r = \sqrt{2mqV} / (qB)$ प्राप्त होता है।
$5$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $r^2 = 2mqV / (q^2 B^2)$।
$6$. द्रव्यमान $m$ के लिए हल करने पर, हमें $m = (q^2 B^2 r^2) / (2qV) = (q B^2 r^2) / (2V)$ प्राप्त होता है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग से एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है, तो यह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
अतः, $qvB = \frac{mv^2}{r}$, जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
इससे, त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ द्रव्यमान $m$, आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है, लेकिन यह कण के वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहे आवेशित कण की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{mv}{qB}$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $v$ वेग है, $q$ आवेश है, और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है, हम $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ लिख सकते हैं।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $R \propto \sqrt{K}$ है।
दिया गया है कि नई ऊर्जा $K' = 3K$ है, इसलिए नई त्रिज्या $R'$ का मान $R' = \sqrt{\frac{K'}{K}} R = \sqrt{\frac{3K}{K}} R = \sqrt{3}R$ होगा।

(B) $1$. ट्रेन में बैठे यात्री $A$ के लिए, बिंदु आवेश स्थिर है। स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$2$. जमीन पर खड़े व्यक्ति $B$ के लिए, ट्रेन (और इस प्रकार आवेश) एक समान वेग से गति कर रही है। एक गतिमान आवेश विद्युत धारा का निर्माण करता है, जो विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
$3$. इसलिए, $A$ केवल विद्युत क्षेत्र का अवलोकन करता है, और $B$ विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों का अवलोकन करता है। अतः, विकल्प $B$ सही है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वेग $v$ से गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{mv}{qB}$ है।
चूँकि सभी कणों के लिए $v$ और $B$ स्थिर हैं, इसलिए $R \propto \frac{m}{q}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m$, $q_p = e$, अतः $R_p \propto \frac{m}{e}$।
इलेक्ट्रॉन $(e)$ के लिए: $m_e \approx \frac{m}{1836}$, $q_e = e$, अतः $R_e \propto \frac{m}{1836e}$।
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} \approx 4m$, $q_{\alpha} = 2e$, अतः $R_{\alpha} \propto \frac{4m}{2e} = 2\frac{m}{e}$।
अनुपातों की तुलना करने पर: $R_{\alpha} = 2(\frac{m}{e})$, $R_p = 1(\frac{m}{e})$, $R_e \approx 0.0005(\frac{m}{e})$।
अतः, $R_{\alpha} > R_p > R_e$।