Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(C) व्यतिकरण पैटर्न में प्रकाश की तीव्रता $I_{res} = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_0$ प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
$\Delta x = \lambda$ पथ अंतर के लिए, कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ होता है।
तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
अब, $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ पथ अंतर के लिए, कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
नई तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $I' = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I = 4I_0$, इसलिए $I_0 = \frac{I}{4}$ होता है।
इस मान को $I'$ के समीकरण में रखने पर, हमें $I' = 2(\frac{I}{4}) = 0.5I$ प्राप्त होता है।

(A) व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ को $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $I_{max} = 4 I_{min}$, इसलिए $(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = 4(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2\sqrt{I_1} - 2\sqrt{I_2}$.
यह सरल होकर $3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $9I_2 = I_1$ प्राप्त होता है, अतः अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 9/1$ है।
अतः दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $I_2/I_1 = 1/9$ है।

(C) $\text{n}^{th}$ क्रम के उच्चिष्ठ की स्थिति $x_n = n \frac{D \lambda}{d}$ होती है।
$\text{n}^{th}$ क्रम के निम्निष्ठ की स्थिति $x'_n = (n - 0.5) \frac{D \lambda}{d}$ होती है।
$3^{rd}$ क्रम के उच्चिष्ठ $(n=3)$ और $3^{rd}$ क्रम के निम्निष्ठ $(n=3)$ के बीच की दूरी:
$\Delta x = x_3 - x'_3 = 3 \frac{D \lambda}{d} - (3 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 0.5 \frac{D \lambda}{d} = \frac{\beta}{2}$.
दिया गया है: $\Delta x = 0.18 \,cm = 1.8 \times 10^{-3} \,m$, $D = 1.2 \,m$, और $d = 0.02 \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
$\frac{\beta}{2} = 1.8 \times 10^{-3} \,m \implies \beta = 3.6 \times 10^{-3} \,m$.
चूंकि $\beta = \frac{D \lambda}{d}$, इसलिए $\lambda = \frac{\beta d}{D}$.
$\lambda = \frac{(3.6 \times 10^{-3} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m)}{1.2 \,m} = 6 \times 10^{-7} \,m = 600 \,nm$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर, हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta \beta}{\beta} = \frac{\Delta D}{D} - \frac{\Delta d}{d}$.
दिया गया है कि $D$ में $0.5 \%$ की वृद्धि होती है, इसलिए $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 0.5 \%$.
दिया गया है कि $d$ में $0.3 \%$ की कमी होती है, इसलिए $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = -0.3 \%$.
इन मानों को त्रुटि सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \beta}{\beta} \times 100 = 0.5 \% - (-0.3 \%) = 0.5 \% + 0.3 \% = 0.8 \%$.
अतः, फ्रिंज की चौड़ाई $0.8 \%$ बढ़ जाती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, श्वेत प्रकाश में $4000 \ Å$ से $7000 \ Å$ तक की तरंगदैर्घ्य होती है।
पर्दे पर केंद्रीय स्थिति में, सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए पथ अंतर शून्य होता है।
चूंकि पथ अंतर शून्य है, इसलिए सभी तरंगदैर्घ्य केंद्र पर संपोषी व्यतिकरण करती हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक सफेद फ्रिंज बनती है।
जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं, पथ अंतर बढ़ता जाता है, जिससे विभिन्न तरंगदैर्घ्य अलग-अलग स्थानों पर संपोषी व्यतिकरण करती हैं, जिसके परिणामस्वरूप रंगीन फ्रिंज दिखाई देती हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब पूरी व्यवस्था को $n$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ हो जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{(\lambda / n) D}{d} = \frac{1}{n} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{n}$ होगा।
अतः, नई फ्रिंज चौड़ाई $\frac{\beta}{n}$ है।

(A) $n$-वीं चमकीली फ्रिंज के लिए शर्त $y = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
दोनों तरंगदैर्ध्यों $\lambda_1 = 650 \ nm$ और $\lambda_2 = 550 \ nm$ की चमकीली फ्रिंजों के संपाती होने के लिए, उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए: $y_1 = y_2$.
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{550}{650} = \frac{11}{13}$.
चूंकि हमें न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है, हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 11$ और $n_2 = 13$ लेंगे।
स्थिति के सूत्र में $n_1 = 11$ रखने पर:
$y = 11 \times \frac{650 \times 10^{-9} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 11 \times 325 \times 1.2 \times 10^{-6} = 4290 \times 10^{-6} \ m = 429 \times 10^{-5} \ m$.

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$, पर्दे की दूरी $D = 10 \ m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4 I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
पर्दे पर $y$ स्थिति पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है।
एक स्लिट के सामने के बिंदु के लिए, $y = \frac{d}{2}$.
अतः, $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 10} = \frac{4 \times 10^{-6}}{20} = 2 \times 10^{-7} \ m$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 2 \times 10^{-7} = \frac{2\pi}{3}$.
तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2}) = (4 I_0) \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4 I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, इसलिए $I = 4 I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4 I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
कथन $I$: कोणीय फ्रिंज चौड़ाई केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट पृथक्करण $d$ पर निर्भर करती है। यह पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है। इसलिए, पर्दे को दूर ले जाने से कोणीय पृथक्करण में कोई बदलाव नहीं आता है। अतः, कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$: चूंकि $\theta = \frac{\lambda}{d}$, कोणीय फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है। यदि स्रोत को उच्च तरंगदैर्ध्य वाले स्रोत से बदल दिया जाए, तो $\theta$ बढ़ जाएगा। अतः, कथन $II$ सत्य है।
निष्कर्ष: कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि फ्रिंज की चौड़ाई समान है, इसलिए $\beta_1 = \beta_2$ है।
अतः, $\frac{D_1 \lambda_1}{d_1} = \frac{D_2 \lambda_2}{d_2}$ होगा।
अनुपात $\frac{D_1}{D_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{D_1}{D_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \frac{d_1}{d_2}$ प्राप्त होता है।
स्लिट के पृथक्करण का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = 2$ और तरंग दैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है, जिसका अर्थ है कि $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{D_1}{D_2} = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.54$ mm $= 0.54 \times 10^{-3}$ m.
स्क्रीन की दूरी $D = 1.8$ m.
केंद्रीय फ्रिंज से $n$ वें दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = \frac{n\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$6$ वें दीप्त फ्रिंज के लिए, $n = 6$ और $y_6 = 1.2$ cm $= 1.2 \times 10^{-2}$ m.
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.54 \times 10^{-3}}{6 \times 1.8}$.
$\lambda = \frac{0.648 \times 10^{-5}}{10.8} = 0.06 \times 10^{-5}$ m.
$\lambda = 600 \times 10^{-9}$ m $= 600$ nm.

(B) दिया गया है: स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
पर्दे की दूरी $D = 2.0 \text{ m}$.
फ्रिंज का क्रम $n = 3$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = 1.5 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-4}}{3 \times 2.0}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \times 10^{10} \mathring{A} = 5000 \mathring{A}$.
अतः, प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $5000 \mathring{A}$ है।

(B) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ होता है।
यहाँ प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 2.4 \text{ } \mu\text{m}$ और नए माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = 1.2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, $\beta' = \frac{2.4}{1.2} = 2 \text{ } \mu\text{m}$ प्राप्त होता है।
अतः, नई फ्रिंज चौड़ाई $2 \text{ } \mu\text{m}$ होगी।

(C) मान लीजिए कि $I_s$ एक झिरी के कारण तीव्रता है।
परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos \phi = 2I_s + 2I_s \cos \phi = 2I_s(1 + \cos \phi) = 4I_s \cos^2(\phi/2)$.
यह दिया गया है कि बिंदु $P$ पर परिणामी तीव्रता $I_R$ एक झिरी की तीव्रता $(I_s)$ के बराबर है, इसलिए:
$4I_s \cos^2(\phi/2) = I_s$
$\cos^2(\phi/2) = 1/4$
$\cos(\phi/2) = 1/2$
इसका अर्थ है कि $\phi/2 = \pi/3$, अतः कलान्तर $\phi = 2\pi/3$ है।
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\phi$ के बीच संबंध $\Delta x = (\lambda / 2\pi) \phi$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta x = (6000 \mathring{A} / 2\pi) \times (2\pi/3) = 2000 \mathring{A}$.

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलान्तर (phase difference) है।
दिया गया है $I = \frac{3}{4} I_{max}$, अतः $\frac{3}{4} I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
यह सरल होकर $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{4}$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए, $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$, जिससे कलान्तर $\phi = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\phi$ के बीच संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ है।
$\phi = \frac{\pi}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\lambda}{6}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{\lambda}{x}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 6$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ के लिए, कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3}) = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ है।
दिया गया है कि $I_1 = K$, इसलिए $K = \frac{I_{max}}{4}$, जिसका अर्थ है $I_{max} = 4K$।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए, कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ है।
चूंकि $I_{max} = 4K$, इसलिए पथ अंतर $\lambda$ पर तीव्रता $4K$ होगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, पर्दे पर बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
एक स्लिट के ठीक सामने के बिंदु के लिए, $y = d/2$ होता है।
इसलिए, पथ अंतर $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$ है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) होने के लिए, पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज होना चाहिए, अर्थात $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{D(2n-1)}$।
अतः, $\lambda \propto \frac{1}{2n-1}$।
$n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए, $(2n-1)$ के मान $1, 3, 5, \dots$ हैं।
इसलिए, संभावित तरंगदैर्घ्य $\frac{d^2}{D}, \frac{d^2}{3D}, \frac{d^2}{5D}, \dots$ के अनुपात में हैं।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए, नई कोणीय चौड़ाई $\theta'$ का मान $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ होगा।
यहाँ $\theta = 0.2^\circ$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है।
मान रखने पर, हमें $\theta' = \frac{0.2}{4/3} = 0.2 \times \frac{3}{4} = 0.15^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः, फ्रिंज की नई कोणीय चौड़ाई $0.15^\circ$ होगी।

(B) स्लैब द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu_2 - 1)t - (\mu_1 - 1)t = (\mu_2 - \mu_1)t$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta x = (1.55 - 1.51) \times 0.1 \text{ mm} = 0.04 \times 0.1 \text{ mm} = 0.004 \text{ mm} = 4 \times 10^{-6} \text{ m}$.
फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ के संदर्भ में केंद्रीय फ्रिंज का विस्थापन $n = \frac{\Delta x}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
अतः, $n = \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = 10$.
इस प्रकार, केंद्रीय दीप्त फ्रिंज $10$ फ्रिंजों से विस्थापित होगी।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, किसी बिंदु $P$ पर पथ अंतर (path difference) $\Delta x$ को $S_2P - S_1P = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चित्र की ज्यामिति से, $S_2P - S_1P = S_2B = \Delta x$ है।
दीप्त फ्रिंज के लिए, पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है, जहाँ $n$ फ्रिंज का क्रम है।
बिंदु $Q$, केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) $O$ के एक तरफ दूसरी दीप्त फ्रिंज है, इसलिए इसकी स्थिति $y_Q = 2\beta$ है, जहाँ $\beta$ फ्रिंज चौड़ाई है।
बिंदु $P$, $Q$ के दूसरी ओर ग्यारहवीं दीप्त फ्रिंज है। $O$ से $P$ की दूरी $y_P = (11 - 2)\beta = 9\beta$ है, जो $O$ के विपरीत दिशा में है।
अतः, बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = 9\lambda$ है।
दिया गया है $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$।
इसलिए, $S_2B = 9 \times 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 54 \times 10^{-7} \text{ m} = 5.4 \times 10^{-6} \text{ m}$।

(B) $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda_n D}{d}$, जहाँ $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ होता है।
दिया गया है:
$\lambda_0 = 6300 \text{ Å} = 6300 \times 10^{-10} \text{ m}$
$n = 1.33$
$D = 1.33 \text{ m}$
$d = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$
मान रखने पर:
$\lambda_n = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \text{ m}$
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \text{ m} = 6.3 \times 10^{-4} \text{ m}$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
स्लिट पृथक्करण $d = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
स्क्रीन की दूरी $D = 2 \text{ m}$.
क्रम $n = 5$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 480 \text{ nm} = 480 \times 10^{-9} \text{ m}$ और $\lambda_2 = 600 \text{ nm} = 600 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$\lambda_1$ के लिए $5^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_1 = \frac{5 \times 480 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 1600 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$\lambda_2$ के लिए $5^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 2000 \times 10^{-6} \text{ m} = 2.0 \times 10^{-3} \text{ m}$.
दोनों फ्रिंजों के बीच का पृथक्करण $\Delta y = |y_2 - y_1| = (2.0 - 1.6) \times 10^{-3} \text{ m} = 0.4 \times 10^{-3} \text{ m} = 4 \times 10^{-4} \text{ m}$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है।
पहले बिंदु के लिए, पथ अंतर $\Delta x_1 = 0$, इसलिए $\phi_1 = 0$। तीव्रता $I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
दूसरे बिंदु के लिए, पथ अंतर $\Delta x_2 = \lambda/4$, इसलिए $\phi_2 = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$। तीव्रता $I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 \times (1/2) = 2I_0$।
तीव्रताओं का अनुपात $I_1/I_2 = (4I_0)/(2I_0) = 2/1$ अर्थात $2:1$ है।

(C) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = 0.4 \text{ mm}$ दी गई है।
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n\beta$ होती है।
$m^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = (m - 0.5)\beta$ होती है।
$6^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति: $y_6 = 6\beta = 6 \times 0.4 = 2.4 \text{ mm}$।
$4^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति: $y'_4 = (4 - 0.5)\beta = 3.5 \times 0.4 = 1.4 \text{ mm}$।
उनके बीच की दूरी $|y_6 - y'_4| = |2.4 - 1.4| = 1.0 \text{ mm}$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, स्लिट $A_1$ और $A_2$ से बिंदु $P$ तक पहुँचने वाली प्रकाश तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = A_2P - A_1P$ होता है।
दिया गया है कि $A_1P$, $A_1A_2$ के लंबवत है, इसलिए हमारे पास एक समकोण त्रिभुज $\Delta A_1A_2P$ है जहाँ $A_1A_2 = a$ और $A_1P = D$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, $A_2P = \sqrt{A_1A_2^2 + A_1P^2} = \sqrt{a^2 + D^2}$।
अतः, पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{a^2 + D^2} - D$ है।
पहले निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए, पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए, $\sqrt{a^2 + D^2} - D = \frac{\lambda}{2}$।
$\sqrt{a^2 + D^2} = D + \frac{\lambda}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $a^2 + D^2 = (D + \frac{\lambda}{2})^2 = D^2 + \lambda D + \frac{\lambda^2}{4}$।
$a^2 = \lambda D + \frac{\lambda^2}{4}$।
चूंकि $\lambda$, $D$ की तुलना में बहुत छोटा है, इसलिए $\frac{\lambda^2}{4}$ को नगण्य माना जा सकता है।
अतः, $a^2 \approx \lambda D$, जिससे $a = \sqrt{\lambda D}$ प्राप्त होता है।

(A) माना पहली स्लिट की चौड़ाई $w_1 = w$ और दूसरी स्लिट की चौड़ाई $w_2 = 2w$ है। चूंकि तीव्रता $I \propto \text{\text{चौड़ाई}}$, इसलिए $I_1 = I_0$ और $I_2 = 2I_0$ है।
चूंकि $I \propto A^2$, आयाम $A_1 = a$ और $A_2 = a\sqrt{2}$ हैं।
परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi = 3I_0 + 2\sqrt{2} I_0 \cos \phi$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_m$ तब होती है जब $\cos \phi = 1$, अतः $I_m = I_0(3 + 2\sqrt{2})$।
$\cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 1$ का उपयोग करने पर, $I = I_0(3 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cos^2 \frac{\phi}{2})$।
$I_0 = I_m(3 - 2\sqrt{2})$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = \frac{I_m}{9}(1 + 8 \cos^2 \frac{\phi}{2})$ प्राप्त होता है।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात $I \propto A^2$।
मान लीजिए कि दो कला-संबद्ध स्रोतों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$ होती है।
दिया गया है कि अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36}{1}$ है।
अतः, $\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{36}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{6}{1}$ प्राप्त होता है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर, $\frac{(A_1 + A_2) + (A_1 - A_2)}{(A_1 + A_2) - (A_1 - A_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2A_1}{2A_2} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{5}$ है।

(B) स्क्रीन पर एक निश्चित क्षेत्र की चौड़ाई $L$ है। फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
$L$ चौड़ाई वाले क्षेत्र में फ्रिंजों की संख्या $n$ को $n = \frac{L}{\beta} = \frac{Ld}{\lambda D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $L, d,$ और $D$ स्थिर हैं, इसलिए $n \propto \frac{1}{\lambda}$, जिसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है $n_1 = 8$, $\lambda_1 = 6600 \text{ Å}$, और $\lambda_2 = 4400 \text{ Å}$.
मान रखने पर: $8 \times 6600 = n_2 \times 4400$.
$n_2 = \frac{8 \times 6600}{4400} = \frac{8 \times 66}{44} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
अतः, देखे जाने वाले फ्रिंजों की संख्या $12$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए, अर्थात $n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
कलान्तर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
$n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए $\Delta x$ का मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta \phi = (2n - 1)\pi$ रेडियन।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) $\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $m^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_m = m \frac{D \lambda_1}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = (n - \frac{1}{2}) \frac{D \lambda_2}{d} = \frac{(2n - 1)}{2} \frac{D \lambda_2}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं, $y_m = y_n$:
$m \frac{D \lambda_1}{d} = \frac{(2n - 1)}{2} \frac{D \lambda_2}{d}$.
समीकरण को सरल करने पर, हमें $m \lambda_1 = \frac{(2n - 1)}{2} \lambda_2$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2m}{2n - 1}$ है।

(A) संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $|\sin \theta| \le 1$, इसलिए $|n| \le \frac{d}{\lambda}$ होगा।
दिया गया है $d = 2.5\lambda$, अतः शर्त $|n| \le 2.5$ हो जाती है।
$n$ के संभावित पूर्णांक मान $0, \pm 1, \pm 2$ हैं।
ये मान $n = -2, -1, 0, 1, 2$ के संगत हैं।
इन मानों की गणना करने पर, कुल $5$ उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।