P और Q परवलय y^2 = 4x पर दो अलग-अलग बिंदु हैं | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $P(t)$ पर अभिलंब $y = -tx + 2t + t^3$ होग

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$8$

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(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $P(t)$ पर अभिलंब $y = -tx + 2t + t^3$ होगा।चूंकि यह अभिलंब $Q(t_1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $t_1^2 = -t(t_1) + 2t + t^3$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ मिलता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_1^2 = (-t - \frac{2}{t})^2 = t^2 + \frac{4}{t^2} + 4$ प्राप्त होता है।समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग करने पर,$t^2 + \frac{4}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{4}{t^2}} = 4$।अतः,$t_1^2$ का न्यूनतम मान $4 + 4 = 8$ है।

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