int frac{e^{-x}}{1 + e^x} , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^x} \, dx$. अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^{-x} \cdot e^{-x}}{e^{-x}(1 + e^x)} \, dx =

Vedclass · Accepted Answer

$\log(1 + e^x) - x - e^{-x} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^x} \, dx$. अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^{-x} \cdot e^{-x}}{e^{-x}(1 + e^x)} \, dx = \int \frac{e^{-2x}}{e^{-x} + 1} \, dx$. माना $t = e^{-x} + 1$. तब $dt = -e^{-x} \, dx$,जिसका अर्थ है $e^{-x} \, dx = -dt$. साथ ही,$e^{-x} = t - 1$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{t - 1}{t} (-dt) = -\int (1 - \frac{1}{t}) \, dt = \int (\frac{1}{t} - 1) \, dt$. समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \log|t| - t + c$. $t = e^{-x} + 1$ वापस रखने पर: $I = \log(e^{-x} + 1) - (e^{-x} + 1) + c$. चूंकि $\log(e^{-x} + 1) = \log(\frac{1 + e^x}{e^x}) = \log(1 + e^x) - \log(e^x) = \log(1 + e^x) - x$,$I = \log(1 + e^x) - x - e^{-x} - 1 + c$. यहाँ $-1 + c$ एक नया स्थिरांक $C$ है,इसलिए अंतिम उत्तर $\log(1 + e^x) - x - e^{-x} + C$ है।

$\int \frac{e^{-x}}{1 + e^x} \, dx = $

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