दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $(a \cos 	heta, b \sin 	heta)$ है।$(a \cos 	heta,

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$\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$

Vedclass · Answer

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $(a \cos 	heta, b \sin 	heta)$ है।$(a \cos 	heta, b \sin 	heta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos 	heta}{a} + \frac{y \sin 	heta}{b} = 1$ है।स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(\frac{a}{\cos 	heta}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, \frac{b}{\sin 	heta})$ पर काटती है।माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है।अतः $h = \frac{a}{2 \cos 	heta} \implies \cos 	heta = \frac{a}{2h}$ और $k = \frac{b}{2 \sin 	heta} \implies \sin 	heta = \frac{b}{2k}$ है।सर्वसमिका $\cos^2 	heta + \sin^2 	heta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{a}{2h})^2 + (\frac{b}{2k})^2 = 1$ प्राप्त होता है।यह $\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$ में सरल होता है,या $\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 4$ है।$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ है।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अक्षों के बीच कटे स्पर्श रेखा के भाग के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

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