ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ એ યામાક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસમાં અંતર્ગત છે. આ લંબચોરસને પરિગત કરતા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.

જો $a$ અને $c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ ને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9a^2$ સાથે ચાર ભિન્ન સામાન્ય બિંદુઓ હોય,તો

ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો પર કપાતા ભાગના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ અને નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો,જે દરેક વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ બંનેને સ્પર્શે છે. ધારો કે આ રેખાઓ બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. તે ઉપવલયને ધ્યાનમાં લો જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને જેની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $OQ$ છે. જો આ ઉપવલયની ગૌણ ધરીની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $1$ છે.
$(B)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{2}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ છે.
$(C)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ છે.
$(D)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ છે.

બિંદુ $(-3, 2)$ માંથી ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો છે?