$ABC$ एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 3, 2)$ और $C(\lambda, 5, \mu)$ हैं। यदि $A$ से गुजरने वाली माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,तो $(\lambda^3 + \mu^3 + 5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $A(7, -2, 11)$ की रेखा $\frac{x-6}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-8}{3}$ से रेखा $\frac{x-7}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-11}{6}$ की दिशा में दूरी ज्ञात कीजिए:

रेखा $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-2} = \frac{z + 5}{2}$ पर स्थित उस बिंदु के निर्देशांकों का योग क्या है जो बिंदु $(2, -3, -5)$ से $3 \text{ इकाई}$ की दूरी पर है?

यदि बिंदु $P(\beta, 0, \beta) \, (\beta \neq 0)$ से रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-1}$ पर डाले गए लंब की लंबाई $\sqrt{\frac{3}{2}}$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि किसी $\alpha \in R$ के लिए,रेखाएं $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{1}$ और $L_2: \frac{x+2}{\alpha}=\frac{y+1}{5-\alpha}=\frac{z+1}{1}$ समतलीय हैं,तो रेखा $L_2$ किस बिंदु से होकर गुजरती है?

एक रेखा $L_1$ बिंदु $3 \hat{i}$ (स्थिति सदिश) से होकर गुजरती है और सदिश $-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के समांतर है। एक अन्य रेखा $L_2$ बिंदु $\hat{i}+\hat{j}$ (स्थिति सदिश) से होकर गुजरती है और सदिश $\hat{i}+\hat{k}$ के समांतर है। रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।