एक वृत्त C,रेखा x=2y को बिंदु (2,1) पर स्पर्श | vedclass

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Question

(A) रेखा $x-2y=0$ को $(2,1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त $C$ का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ है।इसे विस्तारित करने पर,$x^{2}+y^{2}+x(\la

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$7\sqrt{5}$

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(A) रेखा $x-2y=0$ को $(2,1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त $C$ का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ है।इसे विस्तारित करने पर,$x^{2}+y^{2}+x(\lambda-4)+y(-2-2\lambda)+5=0$ प्राप्त होता है।दिया गया वृत्त $C_{1}$,$x^{2}+y^{2}+2y-5=0$ है।उभयनिष्ठ जीवा $PQ$,रेडिकल अक्ष $C-C_{1}=0$ है,जो $x(\lambda-4)-y(2\lambda+4)+10=0$ है।चूंकि $PQ$,$C_{1}$ का व्यास है,यह $C_{1}$ के केंद्र $(0,-1)$ से होकर गुजरता है।$(0,-1)$ को $PQ$ के समीकरण में रखने पर: $0(\lambda-4)-(-1)(2\lambda+4)+10=0$ $\Rightarrow 2\lambda+14=0$ $\Rightarrow \lambda=-7$.$\lambda=-7$ को $C$ के समीकरण में रखने पर: $x^{2}+y^{2}-11x+12y+5=0$.$C$ का केंद्र $(\frac{11}{2}, -6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{121}{4}+36-5} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$ है।अतः,$C$ का व्यास $2r = 7\sqrt{5}$ है।

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