एक संगठन ने यादृच्छिक रूप से $2400$ परिवारों का चयन किया और आय स्तर तथा परिवार में वाहनों की संख्या के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित जानकारी नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध है:
मासिक आय (रुपये में) / प्रति परिवार वाहन $0$ $1$ $2$ $2$ से अधिक
$7000$ से कम $10$ $160$ $25$ $0$
$7000 - 10000$ $0$ $305$ $27$ $2$
$10000 - 13000$ $1$ $535$ $29$ $1$
$13000 - 16000$ $2$ $469$ $59$ $25$
$16000$ या अधिक $1$ $579$ $82$ $88$

मान लीजिए कि एक परिवार चुना जाता है। उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जो:
$(i)$ प्रति माह रु. $10000 - 13000$ कमाता है और ठीक $2$ वाहन रखता है।
$(ii)$ प्रति माह रु. $16000$ या अधिक कमाता है और ठीक $1$ वाहन रखता है।
$(iii)$ प्रति माह रु. $7000$ से कम कमाता है और कोई वाहन नहीं रखता है।
$(iv)$ प्रति माह रु. $13000 - 16000$ कमाता है और $2$ से अधिक वाहन रखता है।
$(v)$ $1$ से अधिक वाहन नहीं रखता है।

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(N/A) सर्वेक्षण किए गए परिवारों की कुल संख्या $= 2400$।
$(i)$ प्रति माह रु. $10000 - 13000$ कमाने वाले और ठीक $2$ वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या $= 29$।
प्रायिकता $= \frac{29}{2400}$।
$(ii)$ प्रति माह रु. $16000$ या अधिक कमाने वाले और ठीक $1$ वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या $= 579$।
प्रायिकता $= \frac{579}{2400}$।
$(iii)$ प्रति माह रु. $7000$ से कम कमाने वाले और कोई वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या $= 10$।
प्रायिकता $= \frac{10}{2400} = \frac{1}{240}$।
$(iv)$ प्रति माह रु. $13000 - 16000$ कमाने वाले और $2$ से अधिक वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या $= 25$।
प्रायिकता $= \frac{25}{2400} = \frac{1}{96}$।
$(v)$ $1$ से अधिक वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या (अर्थात $0$ या $1$ वाहन) $= (10 + 160) + (0 + 305) + (1 + 535) + (2 + 469) + (1 + 579) = 170 + 305 + 536 + 471 + 580 = 2062$।
प्रायिकता $= \frac{2062}{2400} = \frac{1031}{1200}$।

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$2$ बच्चों वाले $1500$ परिवारों को यादृच्छिक रूप से चुना गया और निम्नलिखित आंकड़े दर्ज किए गए:
परिवार में लड़कियों की संख्या $2$ $1$ $0$
परिवारों की संख्या $475$ $814$ $211$

यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार की निम्नलिखित प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
$(i)$ $2$ लड़कियाँ $(ii)$ $1$ लड़की $(iii)$ कोई लड़की नहीं
साथ ही,जाँच कीजिए कि क्या इन प्रायिकताओं का योग $1$ है।

Difficult
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दो सिक्कों को एक साथ $500$ बार उछाला जाता है,और हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:
दो चित (heads) : $105$ बार
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एक शिक्षक $100$ अंकों की गणित की परीक्षा में छात्रों के दो वर्गों के प्रदर्शन का विश्लेषण करना चाहते थे। उनके प्रदर्शन को देखकर,उन्होंने पाया कि कुछ छात्रों को $20$ से कम अंक मिले और कुछ को $70$ या उससे अधिक अंक मिले। इसलिए उन्होंने उन्हें अलग-अलग आकार के अंतराल में समूहित करने का निर्णय लिया: $0-20, 20-30, ..., 60-70, 70-100$। फिर उन्होंने निम्नलिखित तालिका बनाई:
अंक छात्रों की संख्या
$0-20$ $7$
$20-30$ $10$
$30-40$ $10$
$40-50$ $20$
$50-60$ $20$
$60-70$ $15$
$70$ और उससे अधिक $8$
कुल $90$

$(i)$ वह प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक छात्र ने गणित की परीक्षा में $20\%$ से कम अंक प्राप्त किए हैं।
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निम्नलिखित आवृत्ति वितरण तालिका एक निश्चित शहर में $30$ दिनों के लिए हवा में सल्फर डाइऑक्साइड $(SO_2)$ की सांद्रता (parts per million - $ppm$ में) दर्शाती है। इस तालिका का उपयोग करके,किसी भी दिन सल्फर डाइऑक्साइड की सांद्रता $0.12 - 0.16$ के अंतराल में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
$SO_2$ की सांद्रता ($ppm$ में)दिनों की संख्या (आवृत्ति)
$0.00-0.04$$4$
$0.04-0.08$$9$
$0.08-0.12$$9$
$0.12-0.16$$2$
$0.16-0.20$$4$
$0.20-0.24$$2$
कुल$30$

अपनी स्कूल के गेट के सामने एक निश्चित समयांतराल के दौरान गुजरने वाले दोपहिया, तिपहिया और चारपहिया वाहनों की आवृत्ति (संख्या) नोट करें। कुल देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन के दोपहिया होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

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