फलन y = log_{a}(x + sqrt{x^{2} + 1}) पर विचार | vedclass

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Question

(C) दिया गया है, $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$, $a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर, $a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब, $a

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है $x = \sinh(y \log a)$

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(C) दिया गया है, $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$, $a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर, $a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब, $a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ पर विचार करें। हर का परिमेयकरण करने पर, $a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$. अतः, $x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$. चूँकि $a^{y} = e^{y \ln a}$, इसलिए $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$. परिभाषा $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $x = \sinh(y \ln a)$ प्राप्त होता है। अतः, प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ है।

फलन $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ पर विचार करें, जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$ है। इस फलन का प्रतिलोम (inverse):

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मान लीजिए $f : A \to B$ एक फलन है जो $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $A = R - \{2\}$ और $B = R - \{1\}$ है। तब $f$ है

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो

$f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}, x \in (-1, 1)$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$,जहाँ $a$ और $x$ आवश्यक शर्तों को पूरा करते हैं,तो $f^{-1}(x) =$

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