एक त्रिभुज $ABC$ खींचिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 6 \, cm$ और $AC = 9 \, cm$ हो। $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{2}$ हो। रचना का औचित्य दीजिए। क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं? ध्यान दें कि दोनों त्रिभुजों के तीनों कोण समान हैं,लेकिन भुजाएँ समान नहीं हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1.$ $6 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $9 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5.$ $BX$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_2C$ को मिलाइए और $B_3$ से $B_3M \parallel B_2C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर काटती है।
$7.$ बिंदु $M$ से,$MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर काटती है।
तब,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{2}$ गुनी हैं।
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का आकार और माप समान होना चाहिए। यहाँ,त्रिभुज समरूप हैं (समान आकार),लेकिन उनके माप अलग हैं।
औचित्य:
चूँकि $B_3M \parallel B_2C$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BC}{CM} = \frac{BB_2}{B_2B_3} = \frac{2}{1}$.
अब,$\frac{BM}{BC} = \frac{BC + CM}{BC} = 1 + \frac{CM}{BC} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
साथ ही,$MN \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle NBM$.
अतः,$\frac{NB}{AB} = \frac{NM}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{3}{2}$.