alpha, beta, gamma, delta in mathbb{N} के लिए | vedclass

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Question

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ है। ध्यान दें कि $\left(

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(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ है। ध्यान दें कि $\left( \frac{x}{e} \right)^{2x} = e^{2x \ln(x/e)} = e^{2x(\ln x - 1)} = e^{2(x \ln x - x)}$. इसी प्रकार,$\left( \frac{e}{x} \right)^{2x} = e^{-2(x \ln x - x)}$. माना $t = x \ln x - x$. तब $dt = (\ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1) \, dx = \ln x \, dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int (e^{2t} + e^{-2t}) \, dt$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$I = \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{-2t}}{2} + C$ प्राप्त होता है। $t = x \ln x - x$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} + C$ प्राप्त होता है। दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 2, \beta = 2, \gamma = 2, \delta = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha + 2\beta + 3\gamma - 4\delta = 2 + 2(2) + 3(2) - 4(2) = 2 + 4 + 6 - 8 = 4$.

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$k \in N$ का वह मान जिसके लिए समाकलन $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx, n \in N$,समीकरण $147 I_{20} = 148 I_{21}$ को संतुष्ट करता है,है :

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