एक वास्तविक संख्या a के लिए, यदि एक वास्तविक | vedclass

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Question

(A) एक फलन $f(x)$ मोनोटोनिक होता है यदि वह अपने पूरे डोमेन में या तो निरंतर वर्धमान हो या निरंतर ह्रासमान हो।इसका अर्थ है कि इसका अवकलज $f'(x)$ अपना च

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$(-6, 6)$

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(A) एक फलन $f(x)$ मोनोटोनिक होता है यदि वह अपने पूरे डोमेन में या तो निरंतर वर्धमान हो या निरंतर ह्रासमान हो।इसका अर्थ है कि इसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है।दिया गया फलन $f(x) = 4x^3 + ax^2 + 3x - 2$ है, इसका अवकलज है:$f'(x) = 12x^2 + 2ax + 3$.फलन के मोनोटोनिक होने के लिए $f'(x) \geq 0$ या $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।चूंकि $x^2$ का गुणांक $12 > 0$ है, परवलय $f'(x)$ ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।यह स्थिति तब होती है जब विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ हो।विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(12)(3) = 4a^2 - 144$.$D \leq 0$ रखने पर, $4a^2 - 144 \leq 0$, जिसका अर्थ है $a^2 \leq 36$.अतः, $-6 \leq a \leq 6$, यानी $a \in [-6, 6]$.दिए गए विकल्पों के अनुसार, $(-6, 6)$ सही उत्तर है।

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