XY-समतल में किन्हीं दो बिंदुओं M और N के लिए, | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए बिंदुओं $P, Q, R, S, E,$ और $F$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{e},$ और $\vec{f}$ हैं।दिया गया समीकरण: $

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$1$

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(A) मान लीजिए बिंदुओं $P, Q, R, S, E,$ और $F$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{e},$ और $\vec{f}$ हैं।दिया गया समीकरण: $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$ है।स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\vec{p} - \vec{s}) + 5(\vec{q} - \vec{s}) + 6(\vec{r} - \vec{s}) = \overrightarrow{0}$ प्राप्त होता है।$\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 12\vec{s} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \vec{s} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12}$ है।चूंकि $E$, $PR$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\vec{e} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$ है।चूंकि $F$, $QR$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\vec{f} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ है।सदिश $\overrightarrow{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{q} - \vec{p}}{2}$ है।सदिश $\overrightarrow{ES} = \vec{s} - \vec{e} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 6\vec{p} - 6\vec{r}}{12} = \frac{5\vec{q} - 5\vec{p}}{12} = \frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})$ है।अतः, लंबाइयों का अनुपात $\frac{|\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{ES}|} = \frac{|\frac{1}{2}(\vec{q} - \vec{p})|}{|\frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})|} = \frac{1/2}{5/12} = \frac{1}{2} 	imes \frac{12}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$ है।

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