यदि z एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है, तो fra | vedclass

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Question

(B) माना $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta) = r e^{i 	heta}$, जहाँ $\operatorname{Im}(z) = r \sin 	heta$ है।तब $z^5 = r^5(\cos 5	heta + i \sin 5

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(B) माना $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta) = r e^{i 	heta}$, जहाँ $\operatorname{Im}(z) = r \sin 	heta$ है।तब $z^5 = r^5(\cos 5	heta + i \sin 5	heta)$, इसलिए $\operatorname{Im}(z^5) = r^5 \sin 5	heta$ है।व्यंजक $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5} = \frac{r^5 \sin 5	heta}{(r \sin 	heta)^5} = \frac{\sin 5	heta}{\sin^5 	heta}$ हो जाता है।सर्वसमिका $\sin 5	heta = 16 \sin^5 	heta - 20 \sin^3 	heta + 5 \sin 	heta$ का उपयोग करने पर:$\frac{\sin 5	heta}{\sin^5 	heta} = \frac{16 \sin^5 	heta - 20 \sin^3 	heta + 5 \sin 	heta}{\sin^5 	heta} = 16 - 20 \csc^2 	heta + 5 \csc^4 	heta$ प्राप्त होता है।माना $x = \csc^2 	heta$ है। चूँकि $z$ अवास्तविक है, $\sin 	heta 
eq 0$, इसलिए $x \geq 1$ है।व्यंजक $f(x) = 5x^2 - 20x + 16$ है।यह ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2(5)} = 2$ पर है।चूँकि $x=2$ डोमेन $[1, \infty)$ में है, न्यूनतम मान $f(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 16 = 20 - 40 + 16 = -4$ है।

यदि $z$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है, तो $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5}$ का न्यूनतम मान क्या है?

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मान लीजिए $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ समीकरण $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ के भिन्न हल हैं। तो $|z_1|^2 + |z_2|^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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