यदि y=y(x), y in [0, frac{pi}{2}) अवकल समीकरण | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} - (\sin(x+y) + \sin(x-y)) = 0$.सर्वसमिका $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:$\

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$2$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} - (\sin(x+y) + \sin(x-y)) = 0$.सर्वसमिका $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:$\sec y \frac{dy}{dx} - 2 \sin x \cos y = 0$.$\sec y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$.$\cos y$ से भाग देने पर ($y \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\cos y 
eq 0$):$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int \sec^2 y dy = \int 2 \sin x dx$.$	an y = -2 \cos x + C$.चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x=0$ और $y=0$ रखने पर:$	an(0) = -2 \cos(0) + C \Rightarrow 0 = -2(1) + C \Rightarrow C = 2$.अतः,$	an y = 2 - 2 \cos x$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x$.$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$	an y = 2 - 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2$.चूँकि $	an y = 2$,इसलिए $\sec^2 y = 1 + 	an^2 y = 1 + 2^2 = 5$.अवकल समीकरण में मान रखने पर:$5 \frac{dy}{dx} = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) = 2$.अतः,$5y'(\frac{\pi}{2}) = 2$.

यदि $y=y(x), y \in [0, \frac{\pi}{2})$ अवकल समीकरण $\sec y \frac{dy}{dx} - \sin(x+y) - \sin(x-y) = 0$ का हल है,जहाँ $y(0)=0$,तो $5y'(\frac{\pi}{2})$ का मान $......$ है।

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