यदि $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$ है,तो ${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1$ का मान क्या होगा?

यदि $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ पूर्णतः वास्तविक है,तो $\cos ^3 \theta+\sin ^2 \theta+\cos \theta+1=$

यदि $i = \sqrt{-1}$ है, तो $\frac{e^{xi} + e^{-xi}}{2} = $

$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta}$ शुद्ध काल्पनिक होगा,यदि $\theta = $ [जहाँ $n$ एक पूर्णांक है]

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

यदि $\left|z-\frac{2}{z}\right|=2$ है,तो $|z|$ का अधिकतम मान क्या है?