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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $S = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{xy}}{{zr}}} ight) + {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{yz}}{{xr}}} ight) + {	an ^{ - 1}}\left(

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$\frac{\pi }{2}$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति: $S = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{xy}}{{zr}}} ight) + {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{yz}}{{xr}}} ight) + {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{zx}}{{yr}}} ight)$.सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}A + {	an ^{ - 1}}B + {	an ^{ - 1}}C = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{A + B + C - ABC}}{{1 - (AB + BC + CA)}}} ight)$ का उपयोग करते हुए:$A = \frac{{xy}}{{zr}}, B = \frac{{yz}}{{xr}}, C = \frac{{zx}}{{yr}}$.यहाँ $AB + BC + CA = \frac{{xy^2z}}{{xr^2}} + \frac{{yz^2x}}{{yr^2}} + \frac{{zx^2y}}{{zr^2}} = \frac{{y^2 + z^2 + x^2}}{{r^2}} = \frac{{r^2}}{{r^2}} = 1$.चूँकि हर $1 - (AB + BC + CA) = 1 - 1 = 0$ है,इसलिए ${	an ^{ - 1}}$ का तर्क $\infty$ की ओर जाता है।अतः,$S = {	an ^{ - 1}}(\infty) = \frac{\pi }{2}$.

यदि ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {r^2}$ है,तो ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{xy}}{{zr}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{yz}}{{xr}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{zx}}{{yr}}} \right) = $

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यदि $f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} \right)$ सभी $n \in N$ के लिए है,तो $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\tan ^{-1} \left( \frac{\cos x}{1-\sin x} \right)$,$-\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।

मान ज्ञात कीजिए: ${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}} \right]$

यदि $\cos^{-1} x = \alpha$ $(0 < x < 1)$ और $\sin^{-1} (2 x \sqrt{1 - x^2}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 x^2 - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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