જો $P(x_1, y_1)$ એક એવું બિંદુ હોય કે જેથી વર્તુળો $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ અને $x^2+y^2+6x+18y+26=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

જો રેખા $lx + my = 1$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ ને સ્પર્શક હોય,તો બિંદુ $(l, m)$ નો બિંદુપથ શું છે?

$(5, 0)$ અને $(10 \cos \theta, 10 \sin \theta)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને બિંદુ $P(x, y)$ એ $2 : 3$ પ્રમાણમાં વિભાજીત કરે છે. જો $\theta$ બદલાય તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

વર્તુળ $C : x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે વર્તુળ $C$ ની એક ચલ જીવા $AB$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. જો જીવા $AB$ પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ વર્તુળ $x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ હોય, તો $\alpha + \beta + 2\gamma$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $A$ એ બિંદુ $(3, 0)$ છે અને $AB$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળો, વર્તુળ $x^2 + y^2 = 36$ ને અંદરની તરફ સ્પર્શે છે. ધારો કે વક્ર $C$ એ બિંદુ $B$ નો બિંદુપથ છે. જો $C$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય, તો $72e^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો બિંદુ $P$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $P$ થી બિંદુઓ $A(1, -1)$ અને $B(-1, 1)$ સુધીના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $4$ રહે,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?