यदि $\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x=A \sin 2 x+B$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A: \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\frac{x^2+1}{x}} d x = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$
$R: \int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x = f(x) + c$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए कि एक फलन $h(x)$ को सभी $x \ne 0$ के लिए $h(x) = 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है। साथ ही, प्रत्येक फलन $f(x)$ के लिए $\int_{-\infty}^{\infty} h(x) \cdot f(x) \, dx = f(0)$ है। तो निश्चित समाकल $\int_{-\infty}^{\infty} h'(x) \cdot \sin x \, dx$ का मान क्या है?

मान लीजिए $I(x)=\int\frac{3dx}{(4x+6)(\sqrt{4x^{2}+8x+3})}$ और $I(0)=\frac{\sqrt{3}}{4}+20$ है। यदि $I(\frac{1}{2})=\frac{a\sqrt{2}}{b}+c$, जहाँ $a, b, c \in N$ और $gcd(a,b)=1$, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int {\frac{{\tan x}}{{1 + \tan x + {{\tan }^2}x}}dx} = x - \frac{K}{{\sqrt A }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{K\tan x + 1}}{{\sqrt A }}} \right) + C,$ ($C$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो क्रमित युग्म $(K, A)$ बराबर है:

यदि $I_n = \int \cos^n x \, dx$ है, तो $6 I_6 - 5 I_4 = $