જો $I_n = \int \cos^n x \, dx$ હોય, તો $6 I_6 - 5 I_4 = $

$\int \frac{d x}{\left(2 a x+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} = $

આપેલ છે કે $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$. જો $\int \frac{1}{x^4+3x^2+1} dx = a \cdot \tan^{-1}\left(\frac{b(x^2-1)}{x}\right) + c \cdot \tan^{-1}\left(\frac{d(x^2+1)}{x}\right) + k$, જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે, તો $5(c+d+ab) = $

$\int \frac{f(x) \varphi^{\prime}(x)+\varphi(x) f^{\prime}(x)}{(f(x) \varphi(x)+1) \sqrt{f(x) \varphi(x)-1}} dx=$

જો $\int e^x \left(f(x) - f^{\prime}(x)\right) dx = g(x) + C$ હોય,તો $\int e^x f^{\prime}(x) dx =$

$\int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \, dx =$