यदि $0 \leq A \leq \frac{\pi}{4}$ है, तो $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$ और $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $m < n$,तो $(m^n + n^m)^{m+n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ अनंत तक का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक $\lfloor \tan^{-1} x - \tan^{-1} y \rfloor - \lfloor \sin^{-1} u - \sin^{-1} v \rfloor$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\lfloor . \rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $x, y, u, v$ स्वतंत्र वास्तविक चर हैं।

यदि $k = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})) + \tan(\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3}))$ है, तो समीकरण $\sin^{-1}(kx-1) = \sin^{-1}x - \cos^{-1}x$ के हलों की संख्या . . . . . . है।

$a>0$ के लिए, यदि $f(x)=ax+b$ अंतराल $[-1,1]$ से $[0,2]$ पर एक आच्छादक (onto) फलन है, तो $\cot \left[\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}\right]=$