यदि ^nC_0 + frac{1}{2} ^nC_1 + frac{1}{3} ^nC | vedclass

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Question

(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1

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$9$

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(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k$ है।
सर्वसमिका प्रतिस्थापित करने पर: $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$।
माना $j = k+1$, तब $S = \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j$।
चूंकि $\sum_{j=0}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j = 2^{n+1}$ है, इसलिए $\sum_{j=1}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j = 2^{n+1} - {}^{n+1}\mathrm{C}_0 = 2^{n+1} - 1$ है।
अतः, $S = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1} = \frac{1023}{10}$।
पदों की तुलना करने पर, $n+1 = 10$, इसलिए $n = 9$। जांच: $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$।

यदि $^nC_0 + \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 + \dots + \frac{1}{n+1} ^nC_n = \frac{1023}{10}$ है, तो $n =$ का मान क्या है?

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