यदि x^3 + y^3 = 6 और frac{d^2y}{dx^2} cdot fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x^3 + y^3 = 6$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$।अब, $\frac{d^

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$36$

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(A) दिया गया है $x^3 + y^3 = 6$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$।अब, $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y^2(2x) - x^2(2y \frac{dy}{dx})}{y^4} = -\frac{2xy^2 - 2x^2y(-\frac{x^2}{y^2})}{y^4} = -\frac{2xy^3 + 2x^4}{y^5} = -\frac{2x(y^3 + x^3)}{y^5}$।चूँकि $x^3 + y^3 = 6$, इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{12x}{y^5}$।इसी प्रकार, समरूपता से, $\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{12y}{x^5}$।इनका गुणा करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} = (-\frac{12x}{y^5})(-\frac{12y}{x^5}) = \frac{144}{x^4 y^4} = \frac{144}{(xy)^4}$।$\frac{m}{(xy)^n}$ से तुलना करने पर, हमें $m = 144$ और $n = 4$ प्राप्त होता है।अतः, $\frac{m}{n} = \frac{144}{4} = 36$।

यदि $x^3 + y^3 = 6$ और $\frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{m}{(xy)^n}$ है, जहाँ $m, n \in R$, तो $\frac{m}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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