यदि ${L_1}$ समतलों $2x - 2y + 3z - 2 = 0$ और $x - y + z + 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा है और ${L_2}$ समतलों $x + 2y - z - 3 = 0$ और $3x - y + 2z - 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा है,तो ${L_1}$ और ${L_2}$ को समाहित करने वाले समतल की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखाएं $\frac{x-1}{\lambda}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x+26}{-2}=\frac{y+18}{3}=\frac{z+28}{\lambda}$ समतलीय हैं और $P$ वह समतल है जिसमें ये दो रेखाएं स्थित हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $P$ पर स्थित $\text{नहीं}$ है?

यदि बिंदुओं $P(2, 4, 1)$ और $Q(3, 8, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समतल $3x - ky - 6z = 0$ द्वारा $4:5$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित किया जाता है, तो $k=$

मान लीजिए $\pi_1$ एक समतल है जो बिंदु $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ से होकर गुजरता है और सदिश $-\hat{j}+2\hat{k}$ के लंबवत है। मान लीजिए रेखा $L$ जो बिंदुओं $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ से होकर गुजरती है, समतल $\pi_2$ का अभिलंब है। यदि समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण $\theta$ है, तो $\cos \theta =$

मान लीजिए $\gamma \in R$ इस प्रकार है कि रेखाएं $L_1: \frac{x+11}{1}=\frac{y+21}{2}=\frac{z+29}{3}$ और $L_2: \frac{x+16}{3}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+4}{\gamma}$ प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $R_1$,$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मान लीजिए $O=(0,0,0)$,और $\hat{n}$,$L_1$ और $L_2$ दोनों रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का एक इकाई अभिलंब सदिश है। $List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।

$List-I$	$List-II$
$(P) \gamma$ बराबर है	$(1) -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$(Q) \hat{n}$ के लिए एक संभावित विकल्प	$(2) \sqrt{\frac{3}{2}}$
$(R) \vec{OR_1}$ बराबर है	$(3) 1$
$(S) \vec{OR_1} \cdot \hat{n}$ का एक संभावित मान	$(4) \frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}$
	$(5) \sqrt{\frac{2}{3}}$

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(0,1,2)$ और $(-1,0,3)$ से होकर गुजरता है और समतल $2x+3y+z=5$ के लंबवत है।