यदि $S$,$b$ के उन भिन्न मानों का समुच्चय है जिनके लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z = 1$,$x + ay + z = 1$,और $ax + by + z = 0$ का कोई हल नहीं है,तो $S$ है:

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें: $x + ay = 0$,$y + az = 0$ और $z + ax = 0$। $a$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय जिनके लिए प्रणाली का एक अद्वितीय हल है,वह है:

यदि ${x^a}{y^b} = {e^m}$,${x^c}{y^d} = {e^n}$,${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m & b \\ n & d \end{array}} \right|$,${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & m \\ c & n \end{array}} \right|$,और ${\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \end{array}} \right|$ है,तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

तीन संख्याओं का योग $6$ है। तीसरी संख्या के तीन गुने में पहली संख्या जोड़ने पर $7$ प्राप्त होता है। पहली संख्या के तीन गुने में दूसरी और तीसरी संख्या का योग जोड़ने पर हमें $12$ प्राप्त होता है। इन संख्याओं का गुणनफल है:

समीकरण निकाय की संगतता की जाँच कीजिए: $x+y+z=1$,$2x+3y+2z=2$,और $ax+ay+2az=4$.

यदि $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$ है,तो $x^2 + y^2 + z^2 =$ का मान ज्ञात कीजिए।