જો સંકર સંખ્યા $z$ એવી હોય કે $(7+i)(z+\bar{z})-(4+i)(z-\bar{z})+116i=0$,તો $z\bar{z}=$

શૂન્યતર સંકર સંખ્યા $z$ માટે,ધારો કે $\arg(z)$ એ મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે જ્યાં $-\pi < \arg(z) \leq \pi$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $FALSE$ (ખોટું) છે?
$(A)$ $\arg(-1-i) = \frac{\pi}{4}$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$
$(B)$ વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi, \pi]$,જે $f(t) = \arg(-1+it)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે $\mathbb{R}$ ના તમામ બિંદુઓ પર સતત છે,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$
$(C)$ કોઈપણ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે,$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) - \arg(z_1) + \arg(z_2)$ એ $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક છે.
$(D)$ કોઈપણ ત્રણ આપેલ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ અને $z_3$ માટે,$\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ શરતનું પાલન કરતા બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ એક સીધી રેખા પર છે.

જો $f(x)$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતી $n$ ઘાતની બહુપદી હોય અને $1+2i, 2-\sqrt{3}$ તથા $5$ એ $f(x)=0$ ના ત્રણ બીજ હોય,તો $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $(\cos \theta + i\sin \theta )(\cos 2\theta + i\sin 2\theta ) \dots (\cos n\theta + i\sin n\theta ) = 1$ હોય,તો $\theta$ ની કિંમત શોધો.

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય જે $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ નું સમાધાન કરે છે,તો $\theta$ ની તમામ કિંમતો માટે $|z^2 + z \sin \theta|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\theta \in[-\pi, 2 \pi]$ માટે, જેના માટે $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય, તેવા તમામ શક્ય $\theta$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય ($\pi$ માં)?