જો વિધેય f: Z rightarrow Z એ f(x) = x - (-1)^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - (-1)^x$ જ્યાં $x \in Z$.કિસ્સો $1$: જો $x$ યુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k$ કોઈ $k \in Z$ માટે.તો $f(2k) = 2k - (-1)^{2k} = 2k

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - (-1)^x$ જ્યાં $x \in Z$.કિસ્સો $1$: જો $x$ યુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k$ કોઈ $k \in Z$ માટે.તો $f(2k) = 2k - (-1)^{2k} = 2k - 1$.કિસ્સો $2$: જો $x$ અયુગ્મ હોય,તો ધારો કે $x = 2k+1$ કોઈ $k \in Z$ માટે.તો $f(2k+1) = (2k+1) - (-1)^{2k+1} = 2k+1 - (-1) = 2k+2$.એક-એક માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. જો $x_1$ યુગ્મ અને $x_2$ અયુગ્મ હોય,તો $2k_1 - 1 = 2k_2 + 2 \implies 2(k_1 - k_2) = 3$,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. જો બંને યુગ્મ હોય,તો $2k_1 - 1 = 2k_2 - 1 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$. જો બંને અયુગ્મ હોય,તો $2k_1 + 2 = 2k_2 + 2 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.વ્યાપ્ત માટે: વિસ્તારમાં તમામ અયુગ્મ સંખ્યાઓ (યુગ્મ ઇનપુટથી) અને તમામ યુગ્મ સંખ્યાઓ (અયુગ્મ ઇનપુટથી) નો સમાવેશ થાય છે. દરેક પૂર્ણાંક $y \in Z$ કાં તો યુગ્મ અથવા અયુગ્મ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

જો વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ એ $f(x) = x - (-1)^x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f(x)$ એ

Similar Questions

જો $f: R \rightarrow C$ એ $x \in R$ માટે $f(x)=e^{2 i x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ (જ્યાં $C$ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે)

વિધાન-$I$: ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + \sin x$. તો $f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વિધાન-$II$: $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

$f: R \to R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત મેપિંગ $f(x) = \cos x, x \in R$ શું હશે?

ધારો કે $f, g: N \rightarrow N$ એવા છે કે $f(n+1)=f(n)+f(1)$ દરેક $n \in N$ માટે અને $g$ કોઈ પણ વિધેય છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય $\text{નથી}$?

વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ માટે $f(x+y)=f(x)+f(y)$ તમામ $x, y \in Z$ માટે હોય, તો આવા બાયજેક્ટિવ (એક-એક અને વ્યાપ્ત) વિધેયોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module